[步步高]高考数学一轮总复习（北师大版）[打印版]

－6x2＋384x－40，0

所以W＝?40 000

－x－16x＋7 360，x>40.??

(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6 104；[6分]

40 000

②当x>40时，W＝－x－16x＋7 360，

40 00040 000由于x＋16x≥2

x×16x＝1 600，

40 000

当且仅当x＝16x，

即x＝50?(40，＋∞)时，取等号， 所以W取最大值为5 760.[10分] 综合①②知，

当x＝32时，W取得最大值6 104万元.[12分]

解函数应用题的一般程序

第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；

第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

[4分]

[方法与技巧]

1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.

2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.

3.解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思. [失误与防范]

1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

- 24 -

专题3 导数及其应用 §1 导数的概念及运算

1.导数与导函数的概念

(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作

f?x1?－f?x0?f?x0＋Δx?－f?x0?

f′(x0)＝x1lim ＝lim . →x0x1－x0Δx→0Δx

f?x＋Δx?－f?x?

(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝Δlim ，x→0Δx则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数. 2.导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝xα(α为实数) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a 1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝ln x f′(x)＝x 1f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝xln a 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′?x?g?x?－f?x?g′?x?f?x?

(3)[]′＝(g(x)≠0). g?x?[g?x?]25.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 易错警示系列 4.求曲线的切线方程条件审视不准致误 典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.

易错分析 由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况. 规范解答

解 易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上. (1)当O(0,0)是切点时，

由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，

即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x. ?y＝2x，由?得x2－2x＋a＝0， 2

?y＝x＋a，

依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1.[4分]

2

(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则y0＝x30－3x0＋2x0，且k＝y' |x?x0＝3x20－6x0＋2，①

y02又k＝x＝x0－3x0＋2，②

0

31联立①②，得x0＝2(x0＝0舍去)，所以k＝－4，

- 25 -

1

故直线l的方程为y＝－4x.

1??y＝－x，14由?得x2＋x＋a＝0，

42??y＝x＋a，

11

依题意，Δ＝16－4a＝0，得a＝64. 1

综上，a＝1或a＝64. 温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.

[方法与技巧]

1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.

3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程. [失误与防范]

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

- 26 -

§2 导数的应用 2.1 导数与函数的单调性

1.函数的单调性

如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的. 2.函数的极值

如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 3.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 答题模版系列 5.分类讨论思想研究函数的单调性 典例 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系；

(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.

思维点拨 依据g(x)的切线条件可得g′(1)＝0得a，b关系，代g(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g′(x)的符号. 规范解答

解 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，

1

则g′(x)＝x＋2ax＋b.

由函数g(x)的图像在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.

2ax2－?2a＋1?x＋1?2ax－1??x－1?

(2)由(1)得g′(x)＝＝. xx

∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，

x－1

∴当a＝0时，g′(x)＝－x. 由g′(x)>0，得01，

1

当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝2a， 11若2a<1，即a>2，

1

由g′(x)>0，得x>1或0

1

由g′(x)<0，得2a1，即0

1

由g′(x)>0，得x>2a或0

1

由g′(x)<0，得1

若2a＝1，即a＝2，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0.[11分]

综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

1

当0

- 27 -

11

在(1，2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增； 1

当a＝2时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 11

当a>2时，函数g(x)在(0，2a)上单调递增， 1

在(2a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.

温馨提醒 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.

1

(2)本题求解先分a＝0或a>0两种情况，再比较2a和1的大小.

[方法与技巧]

1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域. 2.含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.

3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.

[失误与防范]

1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x?(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别. 3.讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.

2.2 导数与函数的极值、最值

题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图像判断极值

- 28 -