习题3-1
1.验证函数f(x) x「4 x在区间［0,4］上满足罗尔定理的条件，并求出使得结 论成立的点
。
解：显然函数f (x) x..4 x在区间［0,4］上连续，在(0,4)上可导，且有f(0) f (4) 0
所以函数在区间［0,4］上满足罗尔定理，则有 f ( ) . 4 —
2
___ 0，
2.验证函数f(x)
得结论成立的 解：函数f (x)
x3 1在区间［1,2］上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使
x3 1在区间［1,2］上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则
3 2
有 f(2)
f(1)
，即
>3。
2 1
3.函数f (x)
x4 1与g(x) x2在区间［1,2］上是否满足柯西中值定理的所有条
件，如满足，求出满足定理的数值
x3 x4，则函数 f(x)在[Xi, x 1](i
解：函数f(x) x4 1与g(x) x2在区间上连续，在区间
3
且x1 x2
1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在
(1,2)上可导，则满足柯西中值
定理，则有f(2)
f(1) 4
g(2) g(1)
4.右4次方程a0x
，即 2
5。
2
a〔x a2x a3x
3
a4 0有4个不同的实根， 证明
4a°x 3QX
鼻
3^2
2a2X a3
0
的所有根皆为实根。
证明：设 f(x) a0x4 a1x3 a2x2 a3X a4,
(Xi,Xi 1)内至少存在一点i，使得f ( i) 0。
X1 ,X2,X3,X4
0的四个实根分别为 f(x) ,
这说明方程4a°x3 3aix2 2a?x a? 0至少有3个实根，而方程为 3次方，则最多也只
有3个实根，所以结论得到证明。
5.设f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f (1)
使得
0，证明：存在
(0,1)，
f()
---
解：构造辅助函数 F (x) xf (x)，而F (x)
xf(x)满足罗尔定理的条件，所以
f()
--- 。
有在(0,1)，至少存在一点
，f ()
6.试用拉格朗日中值定理证明： (1)
sinx2 sinxj x2 x1 ；
(2) 当 x 0时，丄 ln(1 x) x。
1 x
解: ( 1)设f(x) sinx，则f (x)在区间(x1,x2)上满足拉格朗日中值定理，则有
sin x1 sin x2
x1 x2
cos
又因为 cos (X1, X2)，
1,则
sin x1 sin x2
X2
sinx^i sinx2
(2)设 f(x) ln(1 x)
x
x1 x2 。
ln(1 x)，则f(x)在区间(0,x)上满足拉格朗日中值定理，则有
1 1
(0,x)，又因为 1 x 1
1，则1
1 x
ln(1 x) 1 x
1 1
即亠ln(1 x)
1 x
7. 证明等式： arctanx arccot x —。
2
证明：设 f (x) arctanx arccot x，则有 f (x) (arctanx arccot x) 所以 f(x) c，代入 x 0，得到 arctanx arccot x —。
2
8.设f (x)在［1,2］上具有二阶导数f (x)，且f(2) f (1)
F(x) (x 1)f(x)
(1,2)
0。若
。证明：至少存在一点
，使得F ( ) 0。
证明：因为F(1) F(2) 0,在［1,2］上应用罗尔定理，有 F ( J 0，
又因为F (1) 0,所以在［1, i］上应用罗尔定理，有F ( ) 0, ［1, J ［1,2］。
和，使得
9.设f (x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点
证明：构造辅助函数 g(x) x2， f (x)与g(x)在(a, b)内满足柯西中值定理，即有
f(b) f(a) g(b) g(a)
f ( ) g ( ) b
f(b) f(a)
2 2
(a,b)
f(b) f(a) f ( )(b a)，
a
而f (x)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以
习题3-2
1.用洛必达法则求下列极限:
sin ax
(1) lim x 0
sin bx
x sin x ^0
x3
x3 3x 2
tan x lim x tan 3x
2
1 2 ~
m(x -) (6) lim
x — 2
tanx
⑺ lim x ex ；
x 0
(8) lim x cot x ;
x 0
(9)lim(secx tanx)；
x ——
2
1
(10) lim(—^ xtanx ；
x 1
—) ； ( 11) lim
x 0
(12) lim x：；
x
x 1 l n x
1
丄
(13) li叫1 sinx)x； (14) lim x1 x
x 0
解:( 1)( 0型)；lim 贬 lim蝕曲
0 x 0 sin bx
(sin bx) lim区严 x 0
(x )
a cos ax a lim x 0
bcosbx b
sin x 1 1 cosx lim
lim 2~ x 0
3x
(2)( 0 型)；
0
lim
x 0
x sin x
微积分第三章答案
