高中物理竞赛力学教程 第五讲 机械振动和机械波
机械振动和机械波
§5．1简谐振动
??F回x如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满
足：F回??Kx的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度
离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。
现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。
当物体运动到离O点距离为x处时，有
式中因此
5．1．1、简谐振动的动力学特点
a?F回K??mm，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏
PF回?F?mg?k(x0?x)?mg
x x0为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有kx0?mg，
图5-1-1
F回?kx
说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。 5．1．2、简谐振动的方程
由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为A??0简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就
xO?称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为?0,那么在
时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟x的夹角就成为
???t??0，它在x轴上的投影点的坐标
图5-1-2
x?Acos(?t??0) （2）
这就是简谐振动方程，式中?0是t=0时的相位，称为初相：
?t??0是t时刻的相位。
参考圆上的质点的线速度为A?，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是
0） （3）
这也就是简谐振动的速度
v??A?cos(?t??参考圆上的质点的加速度为A?，其方向指向圆心，它在x轴上的投影是
2高中物理竞赛力学教程 第五讲 机械振动和机械波
2a??A?cos(?t??0） （4）
这也就是简谐振动的加速度 由公式（2）、（4）可得
a???2x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
a?Fk??xmm
km （5）
因此有
?2? 简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以
T?2?m?2??wk
5．1．3、简谐振动的判据
物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动： ①物体运动中所受回复力应满足 F??kx；
2②物体的运动加速度满足 a???x；
0。 ③物体的运动方程可以表示为
事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。
§5.2 弹簧振子和单摆
简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。 5．2．1、弹簧振子
弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，
k因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期
x?Acos(?t??)T?2?mk。
mk（1）恒力对弹簧振子的作用
比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。
m图5-2-1
如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长l0，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长?l=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降t??s,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长?l随时间t变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，
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振动周期
因为k?mg/?l，所以
T?2?/??2?/km
T?2??lg?0.2?(s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为
n?t/T??/0.2??5(次)
当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在
的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在
的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是?l/2。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么?l~t图线将是怎样的？
（2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别?l为k1、k2……kn的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为x1，那么总伸长
i?1
各弹簧受的拉力也是F，所以有
n?l1?1mg/k??l/22
?l2?3mg/k?3?l/22
2?l?l ?x??xi OT
2?t xi?F/ki
i?1故
根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数
图5-2-2
x?F?n1ki
k?F/x
i?1即得
如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长x，需要的外力
1/k??n1ki
mF??kix?x?kii?1i?1nn图5-2-3
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根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数
nFk???kixi?1
导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。
当m向下偏离平衡位置?x时，弹簧组伸长了2 ?x，增加的弹力为
F?2?xk?2?x
m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）
k1k2k1?k2
?F?2?2?x
所以m的振动周期
k1k24kk?12?xk1?k2k1?k2
m(k1?k2)4k1k2
m(k1?k2)?k1k2 = T?2? 再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长?l1时，弹簧2由平衡位置伸长了?l2，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）
k??la?k?lb
1122?l2?
由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降
k1a???l1k2b
2k2b a ?x???l2
因此物体m总的由平衡位置下降了
ak1a??2??l1bk2b
2 1mk1?k1a2??x1??l1??x????k?b2?1???l2?2?
此时m所受的合外力
图5-2-4
k1k2b2?F?k1?l1??x122k1a?k2b
所以系统的振动周期
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m(k1a2?k2b2)T?2?2kkb12
（3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为mA和mB的两木块A和B，用一根劲度系
数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。
想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置xA和xB，因为系统受的合力始终是零，所以应该有
mAxA?mBxB ① A、B两物体受的力的大小
FA?FB?(xA?xB)k ②
由①、②两式可解得
mA?mBxAmB
m?mBFB?kAxBmB
FA?k由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是
A图5-2-5
BT?2?mAmBk(mA?mB)
此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧
mBmA?mBl0klm?mmBB看成两段。如果弹簧总长为0，左边一段原长为A，劲度系数为；右边
mAmA?mBl0km?mmBB一段原长为A，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，
有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，
再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？
5．2．2、单摆 O一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动
?至与竖直方向夹?角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的
F切向分力为
回
当?<5o时，△OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且
F?mg?sin?xsin??l，所以
BmgxA图5-2-6
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