等比数列专题复习
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
1°定义
2°.通项公式：
3°.前n项和公式 2．中项定理与下标和定理
（1）中项定理： （2）下标和定理：
（3）前n项积定理：记Tn?a1?a2?a3???an
则T2n?1 则T2n
4、前n项和Sn的性质： （1） （2） （3）
?
?
3.等比数列的“灵活设元：
例题与练习
一、基本量计算
例1．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值． 解 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
??S30＝13S10由?
?S10＋S30＝140?
∴q＝3，
10
??S10＝10
，∴?
?S30＝130?
，
40.
a11－q2010
∴S20＝＝S10(1＋q)＝10×(1＋3)＝
1－qa??∴?a??
20
1
1－q1－q10
＝10
30
1
1－q1－q10
＝130
，
∴q＋q－12＝0.
练习：
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( C )
A．33
B．72
C．84
D．189
12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为____.____．
3
1
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于
4
( C )
3232－n－n－n－nA．16(1－4) B．16(1－2) C.(1－4) D.(1－2)
33
4、若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是__10______．
1
5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为 （C)
an
15
A.和5 8
31
B.和5 16
31
C. 16
D.
15 8
6、一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由4
题意， 得an＋1＝an，
5
4
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
5热气球在前n分钟内上升的总高度为
??4?n?25×?1－?????5????4?n?＝125×?1－???<125. 4??5??1－5
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
a11－qnSn＝a1＋a2＋…＋an＝＝
1－q
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2
n－1
，
na11－qn31－2nSn＝＝＝3(2－1)；
1－q1－2
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3
n－1
，
na11－qn21－3nSn＝＝＝3－1.
1－q1－3
二、中项定理和下标和定理
例．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 解 由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q代入已知得，
??a1＋a1q＋a1q＝7
?2??a1·a1q·a1q＝8??a11＋q＋q即?33
?a1q＝8，?
22
2
22
将a1＝代入①得2q－5q＋2＝0，
q，
1
∴q＝2或q＝，
2
＝7，
??a11＋q＋q＝7， ①即?
?a1q＝2， ②?
2
??a1＝1
由②得?
?q＝2?
a1＝4，??
或?1
q＝.??2
练习．1、已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.求数列{an}的通项公式．
1n－1n－2?1?n－16－n 解 an＝×2＝2或an＝32×??＝2.
2?2?
三、灵活设元
[例1]解答下述问题：
（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有
22???(a?d)(a?d?32)?a?d?32d?32a?0???22??(a?4)?(a?d)(a?d)??8a?16?d826?3d2?32d?64?0,?d?8或d?,得a?10或,
39226338?原三数为2,10,50或,,.999（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为a?15,a?5,a?5,a?15(a?15),
?(a?152)?(a?5)2?(a?5)2?(a?15)2?(2m)2(m?N?)?4a2?500?4m2?(m?a)(m?a)?125,?125?1?125?5?25,?m?a与m?a均为正整数,且m?a?m?a,?m?a?1?m?a?2????m?a?125??m?a?25解得a?62或a?12(不合),?所求四数为47，57，67，77
练习：
1、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
由①，得
a解：.设这四个数为,a,aq,2aq?a a3=216,a=6 ③
q③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18 ①
?a?·a?aq?216则?q ?a?aq?(3aq?a)?36②?
2．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解 设前三个数分别为a－d，a，a＋d， 则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
·b·bq＝b＝8 000，即b＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n，
bq3
b 设后三个数分别为，b，bq，则有
q
20
∴m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
16
四、等比数列前N项积问题：
[例1]、等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为1282，求项数n. [解析]设公比为q,?n?122
即所求的四个数分别为12,16,20,25.
a1a3a5?an1024??42
a2a4?an?11282(1)
35252?a1?q?42而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?qn3521?2?3??(n?1)?2352)?2,将(1)代入得(2)?2,
5n35?,得n?7.22五、前n项和Sn的性质：
1．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝___2_____.
2．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝__16______.
六、下标成数列问题
例1、等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,求数列{kn}的前n项和.
[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,
2?(a1?4d)2?a1?(a1?16d)?d(a1?2d)?0?d?0,?a1?2d,?数列{akn}的公比q?a5a1?4d??3,a1a1①②
?akn?a1?3n?1?2d?3n?1而akn?a1?(kn?1)d?2d?(kn?1)d由①，② 得kn?2?3n?1?1,3n?1{kn}的前n项和Sn?2??n?3n?n?1.3?1 练习：
1、已知数列
?an?是公差d不为零的等差数列，数列?abn?是公比为q的等比数列，b1?1,b2?10,b3?46 ，求公比q及bn。
解.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4=3d·4,a1+(bn-1)d=3d·4
n-1
n-1
n-1
2
∴bn=3·4-2
七、an与Sn之间的关系
例1、数列（Ⅰ）求
n-1
?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?
?an?的通项公式；
?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9
由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3? 解得d1?2,d2?10
∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2
2（Ⅱ）等差数列
解：(I)由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得
an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列
n?1 ∴an?3
（Ⅱ）设?bn?的公差为d
由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5
练习：
1、已知数列 2、已知数列
（A）an
n?n?1??2?n2?2n ∴Tn?3n?2?an?满足Sn141?1?an,则an= (?)n
433?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为 （A ）
?2n?2 （B）an?8n?2 （C）an?2n?1（D）an?n2?n
等比数列专题(教师版)
