《统计学原理》复习资料（计算部分）
一、 算术平均数和调和平均数的计算 加权算术平均数公式
x??xf（常用）
?ffx??x?f?f
f（x代表各组标志值，
加权调和平均数公式
代表各组单位数，
?f代表各组的比重）
x?
?m （x代表各组标志值，m代表各组标志总量） m?x
1． 某企业2003年某月份生产资料如下：
组中值 55 65 75 85 95 按工人劳动生产率分组（件/人）x 50－60 60－70 70－80 80－90 90－100 生产班组 3 5 8 2 2 实际产量（件）m 8250 6500 5250 2550 4750 工人数 mx ? 计算该企业的工人平均劳动生产率。 分析：工人平均劳动生产率x?总产量m总工人人数mx （结合题目）
从公式可以看出，“生产班组”这列资料不参与计算，是多余条件，将其删去。其余两列资料，根据问题“求平均××”可知“劳动生产率”为标志值x，而剩余一列资料“实际产量”在公式中做分子，因此用调和平均数公式计算，并将该资料记作m。每一组工人数?每一组实际产量?劳动生产率，即以各组的组中值来代替各组的标志值。
mx。同上例，资料是组距式分组，应
解：x??m?mx?8250?6500?5250?2550?475027300??68.25（件/人）
82506500525025504750400????5565758595
2． 若把上题改成：（作业P11 3）
组中值 55 65 75 85 95 按工人劳动生产率分组（件/人）x 50－60 60－70 70－80 80－90 90以上 合计 ? 总产量xf总工人人数f生产班组 3 5 8 2 2 20 生产工人数（人）f 150 100 70 30 50 400 产量xf 计算该企业的工人平均劳动生产率。 分析：工人平均劳动生产率x? （结合题目）
从公式可以看出，“生产班组”这列资料不参与计算，是多余条件，将其删去。其余两列资料，根据问题“求平均××”可知“劳动生产率”为标志值x，而剩余一列资料“生产工人数”在公式中做分母，因此用算术平均数公式计算，并将该资料记作f。每一组实际产量?劳动生产率?组工人数，即xf。同上例，资料是组距式分组，应以各组的组中值来代替各组的标志值。
解：x??xf?f?55?150?65?100?75?70?85?30?95?50400=68.25（件/人）
3．某企业产品的有关资料如下： 产品 甲 乙 丙 （件）f 99年成本总额单位成本（元/件）x 98年产量（元）m 98年成本总额xf 25 28 32 1500 1020 980 24500 28560 48000 99年产量 mx ? 试计算该企业98年、99年的平均单位成本。 分析：平均单位成本x?总成本m总产量f
计算98年平均单位成本，“单位成本”这列资料为标志值x，剩余一列资料“98年产量”在实际公式中做分母，因此用算术平均数公式计算，并将该资料记作f；计算99年平均单位成本，“单位成本”依然为标志值x，剩余一列资料“99年成本总额”在实际公式中做分子，因此用调和平均数公式，并将该资料记作m。
解：98年平均单位成本： x??xf?f?m?mx?25?150?0150?0?281?02?010?2032?98098097420?27.8（元3/件） 350099年平均单位成本： x??2450?0285?6048000?2450028560480350000??252832101060?28.8（元7/件）
4．2000年某月甲、乙两市场某商品价格、销售量、销售额资料如下： 商品品种 甲 乙 丙 合计 （件）f （元）m 乙市场销售量价格（元/件）x 甲市场销售额105 120 137 － 73500 108000 150700 332200 1200 800 700 2700 甲销售量 mx 乙销售额xf 分别计算该商品在两个市场的平均价格。 分析：平均单价x?总销售额m总销售量f
计算甲市场的平均价格，“价格”这列资料为标志值x，剩余一列资料“甲市场销售额”在实际公式中做分子，因此用调和平均数公式计算，并将该资料记作m；计算乙市场的平均价格，“价格”依然为标志值x，剩余一列资料“乙市场销售量”在实际公式中做分母，因此用算术平均数公式，并将该资料记作f。
解：甲市场平均价格：x??m?mx?73500?108000?150700332200??123.04（元/件）
735001080001507002700??105120137
乙市场平均价格：x?
?xf?f?105?1200?120?800?137?7001200?800?700?3179002700?117.74（元/件）
二、 变异系数比较稳定性、均衡性、平均指标代表性（通常用标准差系数V???x来比较）
1. 有甲、乙两种水稻，经播种实验后得知甲品种的平均亩产量为998斤，标准差为162.7斤， 乙品种实验资料如下：
亩产量（斤）x 900 950 1000 1050 1100 合计 播种面积（亩）f 1.1 0.9 0.8 1.2 1.0 5.0 xf ?x?x?2f 990 855 800 1260 1100 5005 11221.1 2340.9 0.8 2881.2 9801 26245 试计算乙品种的平均亩产量，并比较哪一品种的亩产量更具稳定性？ 分析：平均亩产量x?总产量xf总面积f
根据表格数据资料及实际公式可知，用算术平均数公式计算乙品种的平均亩产量。
比较哪一品种亩产量更具稳定性，用标准差系数V?，哪个V?更小，哪个更稳定。 解： x乙??xf?f?500552?1001（斤）
?乙???x?x???x??ff?262455?72.45（斤）
V?乙?V?甲?72.451001162.7998?7.24% ?16.30%
?x∴V?乙?V?甲 乙品种的亩产量更具稳定性
2．甲、乙两班同时参加《统计学原理》课程的测试，甲班平均成绩为81分，标准差为9.5分；乙班成绩分组资料如下：
组中值 55 65 75 85 95 按成绩分组x 60以下 60－70 70－80 80－90 90－100 学生人数f 4 10 25 14 2 xf ?x?x?2f 220 650 1875 1190 190 1600 1000 0 1400 800 25 4125 4800 ? 试计算乙班的平均成绩，并比较甲、乙两个班哪个平均成绩更具代表性。 分析：用标准差系数V?比较两个班平均成绩的代表性大小，哪个V?更小，哪个更具代表性。
解：x乙??xf?f?4125552?75（分）
?乙???x?x??f?x??9.34759.581f?480055?9.34（分）
V?乙?V?甲??12.45%
?x?11.73%
∴V?甲?V?乙 甲班的平均成绩更具代表性
3．甲、乙两个生产班组，甲组工人平均日产量为36件，标准差为9.6件；乙组工人日产量资料如下：
日产量（件） 工人数（人） 10~20 20~30 30~40 40~50 18 39 31 12 计算乙组工人平均日产量，并比较甲、乙两个生产小组哪个组的日产量更均衡？ （作业P12 5） 解：x乙??xf?f?15?18?25?39?35?31?45?1218?39?31?12f?2870100?28.7（件）
?乙???x?x??f2??15?28.7?2?18??25?28.7??39??35?28.7??31??45?28.7??12100222 ?8331100?9.13（件）
V?乙??x?9.1328.7?31.81% V?甲??x?9.6?26.67 6∴V?甲?V?乙 甲班的平均成绩更具代表性
三、 总体参数区间估计（总体平均数区间估计、总体成数区间估计） 具体步骤：①计算样本指标x、? ；
p
②计算抽样平均误差?x ； ?p
③由给定的概率保证程度F(t)推算概率度t ④计算抽样极限误差?x ； ⑤估计总体参数区间范围x
?p
??x?X?x??x；p??p?P?p??p
1．从某年级学生中按简单随机抽样方式抽取50名学生，对会计学课程的考试成绩进行检查，得知平均分数为76.5分，样本标准差为10分，试以95.45%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围；如果其他条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名学生？ 解：⑴ x?75.6 ??10 n?50
?x??n?1050?1.414（分）
F(t)?95.45% ∴t?2
?x?t??x?2?1.414?2.828（分）
x??x?X?x??x
75.6?2.83?X?75.6?2.83
72.77?X?78.43
∴以95.45%的概率保证程度推断全年级学生考试成绩的区间范围为72.77～78.43分之间 ⑵n?t??x222 （由?x?12?n；?x?t?x推得）
根据条件，?x???x，则n??4n?4?50?200（人） t??x222（或直接代公式：n??2?10222?200）
?2.828????2? 2．某企业生产一种新的电子元件，用简单随机重复抽样方法抽取100只作耐用时间试验，测试结果，平均寿命6000小时，标准差300小时，试在95.45%的概率保证程度下，估计这种新电子元件的平均寿命区间。假定概率保证程度提高到99.73%，允许误差缩小一半，试问应抽取多少只灯泡进行测试？
解：⑴ x?6000 ??300 n?100
?x??n?300100?30（小时）
F(t)?95.45% ∴t?2
?x?t??x?2?30?60（小时）
x??x?X?x??x
6000?60?X?6000?60
5940?X?6060
∴在95.45%的概率保证程度下，估计这种新电子元件的平均寿命区间在5940～6060小时之间
⑵ ?x?12?60?30
F(t)?99.73% t?3
∴n?
t??x222?3?30030222?300
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