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2024届数学中考复习资料▼▼▼
山东省济南市天桥区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在数1，0，﹣1，﹣100中，最小的数是（ ） A．1
B．0
C．﹣1 D．﹣100
2．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120° 3．下列运算正确的是（ ） A．x2?x3=x5 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a2）3=a5
D．a2+a3=a5
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.75×104 B．2.75×105 C．2.8×104 D．27.5×103 5．如图所示，该几何体的主视图应为（ ）
A． B． C． D．
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，6）关于原点对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲射击成绩的方差是1.2，乙射击成绩的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（ ） A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩的波动比甲较大
C．甲、乙射击成绩的众数相同 D．甲、乙射中的总环数相同 11．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形；
②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形； ④有一组邻边相等的菱形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．B、C为格点．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、作△ABC的外接圆⊙O，则
的长等于（ ）
A． B． C． D．
13．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
14．如图，点A、B的坐标分别为（1，1）和（5，4），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
的图象相交于C，
15．如图，B两点，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，与反比例函数
D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC=BD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①②③ C．①②③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 16．计算：（x+4）（x﹣4）= ．
17．一次函数y=﹣5x+2的图象不经过第 象限．
18．某班45名同学哎学习举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示 捐款数（元） 10 20 17 30 16 40 2 50 2 捐款人数（人） 8 则该班捐款的平均数为 元．
19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC= ．
20．下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示）
21．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
三、解答题（本大题共7个小题，共57分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．完成下列各题： （1）计算：
﹣（）0+2sin30°
（2）解方程：x2﹣4x﹣3=0． 23．完成下列各题：
（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；
（2）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．
24．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
25．某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中，甲种票每张10元，乙种票每张8元，则购买了甲种票多少张，乙种票多少张？如果5位同学改买乙种票，全班共花多少元？
26．如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C．AB∥x轴，点A的坐标为（4，6），连接AC交x轴于D．连接BD． （1）确定k的值； （2）求直线AC的解析式；
（3）判断四边形OABD的形状，并说明理由； （4）求△OAC的面积．
27．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合）设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N．（如图1）． （1）求证：AM=AN； （2）若BM=，求x的值；
（3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S与x之间的函数关系式及S的最小值； （4）如图2，连接DE分别与边AB、AC交于点G，H，当x为何值时，∠BAD=15°．
28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标； （3）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
山东省济南市天桥区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在数1，0，﹣1，﹣100中，最小的数是（ ） A．1
B．0
C．﹣1 D．﹣100
【考点】有理数大小比较．
【分析】先计算|﹣100|=100，|﹣1|=1的值，再根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小，然后进行比较即可． 【解答】解：∵|﹣100|=100，|﹣|=1， ∴﹣100＜﹣1＜0＜1， ∴最小的数是﹣100； 故选D．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
2．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120° 【考点】平行线的性质．
【分析】由梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵梯子的各条横档互相平行，∠1=80°， ∴∠3=∠1=80°， ∴∠2=180°﹣∠3=100°． 故选B．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
3．下列运算正确的是（ ） A．x2?x3=x5 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a2）3=a5
D．a2+a3=a5
【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与合并同类项的运算法则计算即可． 【解答】解：A、正确；
B、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项错误； C、应为（a2）3=a2×3=a6，故选项错误；
D、a2与a3不是同类项，不能合并，故选项错误； 故选A．
【点评】（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
（2）同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500这个数用科学记数法表示为（ ） A．2.75×104 B．2.75×105 C．2.8×104 D．27.5×103 【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于27500有5位，所以可以确定n=5﹣1=4． 【解答】解：27 500=2.75×104． 故选A．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．如图所示，该几何体的主视图应为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小矩形的图形． 故选C．
【点评】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌握主视图所看的位置．
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，6）关于原点对称的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由M（﹣2，6）关于原点对称，得 （2，﹣6）， 故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出对称点是解题关键．
8．不等式组
的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由①得，x＞1， 由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2． 在数轴上表示为：
．
故选A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 9．化简
的结果是（ ）
，
A． B． C． D．
【考点】分式的乘除法． 【专题】计算题．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：原式==
．
?
故选A．
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找公因式．
10．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲射击成绩的方差是1.2，乙射击成绩的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是（ ） A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩的波动比甲较大
C．甲、乙射击成绩的众数相同 D．甲、乙射中的总环数相同 【考点】方差；众数．
【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．
【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.2，乙射击成绩的方差是 1.8， ∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定， ∴乙射击成绩的波动比甲较大， ∵甲、乙射靶 10 次， ∴甲、乙射中的总环数相同， 故A、B、D都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同， 故C错误； 故选C．
【点评】本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ） ①四条边相等的四边形是正方形；
②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形； ④有一组邻边相等的菱形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】命题与定理．
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的判定及矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①四条边相等的四边形是正方形，错误； ②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形，错误； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； ④有一组邻边相等的菱形是正方形，错误， 故选C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及矩形的判定，难度不大．
12．B、C为格点．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、作△ABC的外接圆⊙O，则
的长等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理． 【专题】网格型． 【分析】求
的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC，由图形可知OA⊥OC，
即∠AOC=90°，由勾股定理求OA，利用弧长公式求解． 【解答】解：连接OC，由图形可知OA⊥OC， 即∠AOC=90°， 由勾股定理，得OA=
=
，
∴的长==．
故选D．
【点评】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=
．
13．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（x＞0）上，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．
【分析】由旋转可得点D的坐标为（3，2），那么可得到点C的坐标为（3，1），那么k等于点C的横纵坐标的积．
【解答】解：易得OB=1，AB=2， ∴AD=2，
∴点D的坐标为（3，2）， ∴点C的坐标为（3，1）， ∴k=3×1=3． 故选：B．
【点评】解决本题的关键是利用旋转的性质得到在反比例函数上的点C的坐标．
14．如图，点A、B的坐标分别为（1，1）和（5，4），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据待定系数法求得顶点是A时的解析式，进而即可求得顶点是B时的解析式，然后求得与x轴的交点即可求得．
【解答】解：∵抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O， ∴设此时抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1， 代入（0，0）得，a+1=0， ∴a=﹣1，
∴此时抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1， ∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大， ∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4， 令y=0，则0=﹣（x﹣5）2+4， 解得x=7或3，
∴点D的横坐标最大值为7． 故选C．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，是解题的关键．
15．如图，B两点，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，与反比例函数
的图象相交于C，
D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④AC=BD．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【考点】反比例函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积公式求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，即可证出
△AOB∽△FOE，可判断②；算出C、D点坐标，可得到DF=CE，再证出∠DCE=∠FDA=45°，根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断④即可．
【解答】解：①设D（x，），则F（x，0）， 由图象可知x＞0，
∴△DEF的面积是：×||×|x|=2， 设C（a，），则E（0，）， 由图象可知：＜0，a＞0， △CEF的面积是：×|a|×||=2， ∴△CEF的面积=△DEF的面积， 故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等， 故EF∥CD， ∴FE∥AB， ∴△AOB∽△FOE， 故②正确；
③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数∴x+3=， 解得：x=﹣4或1，
经检验：x=﹣4或1都是原分式方程的解， ∴D（1，4），C（﹣4，﹣1）， ∴DF=4，CE=4，
∵一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点， ∴A（﹣3，0），B（0，3）， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∵DF∥BO，AO∥CE，
∴∠BCE=∠BAO=45°，∠FDA=∠OBA=45°， ∴∠DCE=∠FDA=45°， 在△DCE和△CDF中∴△DCE≌△CDF（SAS）， 故③正确；
④∵BD∥EF，DF∥BE， ∴四边形BDFE是平行四边形， ∴BD=EF， 同理EF=AC， ∴AC=BD，
，
的图象的交点，
故④正确； 正确的有4个． 故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 16．计算：（x+4）（x﹣4）= x2﹣16 ． 【考点】平方差公式． 【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式=x2﹣16， 故答案为：x2﹣16．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．一次函数y=﹣5x+2的图象不经过第 三 象限． 【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】由于k=﹣5＜0，b=2＞0，根据一次函数图象与系数的关系得到一次函数y=﹣5x+2的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，即还要过第一象限． 【解答】解：∵k=﹣5＜0，
∴一次函数y=﹣5x+2的图象经过第二、四象限， ∵b=2＞0，
∴一次函数y=﹣5x+2的图象与y轴的交点在x轴上方， ∴一次函数y=﹣5x+2的图象经过第一、二、四象限， 即一次函数y=﹣5x+2的图象不经过第三象限． 故答案为：三
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
18．某班45名同学哎学习举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示 捐款数（元） 10 20 17 30 16 40 2 50 2 捐款人数（人） 8 则该班捐款的平均数为 24 元． 【考点】加权平均数．
【分析】根据加权平均数的计算方法，列出算式，再求出结果，即可得出正确答案． 【解答】解：该班捐款金额的平均数是=故答案为24．
【点评】本题主要考查了加权平均数的意义．特别注意平均数的公式是解题的关键．
19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC= 9 ．
=24；
【考点】解直角三角形．
【分析】根据锐角三角函数的定义先设BC=4x，得出AC=3x，再根据勾股定理求出求出x的值，从而得出AC．
【解答】解：∵∠ACB=90°，tanA=∴设BC=4x，则AC=3x， ∵AB=
=15，
=，
∴15=解得：x2=9，
，
∴x1=3或x2=﹣3（不合题意，舍去）， ∴AC=3x=9； 故答案为：9．
【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数和勾股定理；求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．
20．下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 【考点】算术平方根． 【专题】规律型．
．（用含n的代数式表示）
【分析】探究每行最后一个数的被开方数，不难发现规律，由此即可解决问题． 【解答】解：第1行的最后一个被开方数2=1×2 第2行的最后一个被开方数6=2×3 第3行的最后一个被开方数12=3×4 第4行的最后一个被开方数20=4×5， …
第n行的最后一个被开方数n（n+1）， ∴第n行的最后一数为∴第n行倒数第二个数为故答案为
．
，
．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是从特殊到一般，归纳规律然后解决问题，需要耐心认真审题，属于中考常考题型．
21．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案． 【解答】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确； 延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC 故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x， ∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确． 故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共57分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．完成下列各题： （1）计算：
﹣（）0+2sin30°
（2）解方程：x2﹣4x﹣3=0．
【考点】实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）方程利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）原式=3﹣1+1=3； （2）方程整理得：x2﹣4x=3， 配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7， 开方得：x﹣2=±解得：x1=2+
，
．
，x2=2﹣
【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．完成下列各题：
（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；
（2）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）要证明DE=CF，只要证明△ADE≌△BCF即可．根据全等三角形的判定定理，可以得出结论．
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出∠AOC，从而求出∠C的度数．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠A=∠B、AD=BC， ∵AF=BE， ∴AE=BF，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）． ∴DE=CF；
（2）∵AC是⊙O的切线， ∴∠CAO=90°．
又∠AOC=2∠ABD=50°，
∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠CAO=180°﹣50°﹣90°=40°．
【点评】本题考查了矩形的性质，各内角为90°，对边相等．根据三角形全等的判定定理求出全等三角形，是证明线段相等的常用方法．
24．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】压轴题．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；
（2）组成的所有两位数列表为： 4 十位数 1 2 3 个位数 1 2 3 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43
或列树状图为：
∴这个两位数大于22的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中，甲种票每张10元，乙种票每张8元，则购买了甲种票多少张，乙种票多少张？如果5位同学改买乙种票，全班共花多少元？ 【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设购买了甲种票x张，乙种票y张，根据两种票共买40张结合买票钱数=单张价格×张数，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得知甲、乙两种票各买多少张，再结合甲、乙两种票的单价可求出如果5位同学改买乙种票，全班共花多少钱． 【解答】解：设购买了甲种票x张，乙种票y张， 根据题意可知：解得：
．
，
如果5位同学改买乙种票，全班共花钱数为（25﹣5）×10+（15+5）×8=360（元）． 答：购买了甲种票25张，乙种票15张，如果5位同学改买乙种票，全班共花360元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该种题型时，把握住不变的量，再根据数量关系列出方程（或方程组）．
26．如图，双曲线y=（x＞0）经过△OAB的顶点A和OB的中点C．AB∥x轴，点A的坐标为（4，6），连接AC交x轴于D．连接BD． （1）确定k的值； （2）求直线AC的解析式；
（3）判断四边形OABD的形状，并说明理由； （4）求△OAC的面积．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；反比例函数及其应用．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由AB与x轴平行，且A纵坐标为6，得到B纵坐标为6，再由C为OB中点，确定出C纵坐标为3，代入反比例解析式确定出C坐标，利用待定系数法确定出直线AC解析式即可； （3）四边形OABC为平行四边形，理由为：由C的坐标确定出B的坐标，进而确定出AB的长，由直线AC与x轴的交点为D，确定出D坐标，得出OD的长，由AB与OD平行且相等，得到四边形OABC为平行四边形；
（4）由四边形OABC为平行四边形，得到对角线互相平分，得到三角形AOC面积为平行四边形面积的四分之一，求出即可．
【解答】解：（1）将A（4，6）代入解析式y=得：k=24； （2）∵AB∥x轴，B的纵坐标是6，C为OB中点， ∴把y=3代入反比例解析式得：x=8，即C坐标为（8，3）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（4，6）与C（8，3）代入得：，
解得：，
则直线AC解析式为y=﹣x+9；
（3）四边形OABC为平行四边形，理由为： ∵点C的坐标为（8，3），
∴B的坐标为（16，6），即AB=12，
把y=0代入y=﹣x+9中得：x=12，即D（12，0）， ∴OD=12， ∴AB=OD， ∵AB∥OD，
∴四边形OABC为平行四边形； （4）∵S四边形OABC=12×6=72， ∴S△OAC=S四边形OABC=18．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及线段中点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
27．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合）设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N．（如图1）． （1）求证：AM=AN； （2）若BM=，求x的值；
（3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S与x之间的函数关系式及S的最小值； （4）如图2，连接DE分别与边AB、AC交于点G，H，当x为何值时，∠BAD=15°．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PAN=∠DAM，证明△ADM≌△APN，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△BPM∽△CAP，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可；
（3）作PH⊥AB于H，根据勾股定理和锐角三角函数的概念求出S△ADP，根据四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积得到答案； （4）连接PG，根据菱形的性质、等腰直角三角形的性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC、△APD、△APE都是等边三角形， ∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°， ∴∠PAN=∠DAM， 在△ADM和△APN中，
，
∴△ADM≌△APN， ∴AM=AN；
（2）解：∵∠PMB=∠MPA+∠BAP，∠APC=∠B+∠BAP，∠MPA=∠B=60°， ∴∠PMB=∠APC，又∠B=∠C， ∴△BPM∽△CAP， ∴
=
，即
，
整理得，4x2﹣8x+3=0， 解得，x1=，x2=，
∴当BM=时，x的值为或；
（3）如图1，作PH⊥AB于H， ∵△ADM≌△APN，
∴四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积， ∵BP=x，∠B=60°， ∴BH=x，PH=∴AH=2﹣x，
由勾股定理得，AP2=AH2+PH2=（2﹣x）2+（∵△ADP是等边三角形， ∴S△ADP=∴S的最小值为（4）连接PG，
当∠BAD=15°时，∵∠DAP=60°， ∴∠GAP=45°，
∵四边形ADPE是菱形， ∴AP⊥DE， ∴AG=PG， ∵∠B=60°，BP=x， ∴BG=x，AG=PG=∴x+
x=2，
﹣2，
﹣2时，∠BAD=15°．
x， AP×AP=；
AP2=
（x﹣1）2+
，
）2=x2﹣2x+4，
x，
解得，x=2∴当x=2
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及菱形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
28．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标； （3）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据直线的解析式求得点A（0，1），那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式．
（2）易得|AM﹣MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
（3）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨． 【解答】解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=x2+bx+c 得
，
解得：．
∴物线的解折式为y=x2﹣x+1；
（2）抛物线的对称轴为x=，B、C关于x=对称， ∴MC=MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大． 知直线AB的解析式为y=﹣x+1 ∴
，
解得：．
则M（，﹣）．
（3）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2﹣m+1， 即E点的坐标（m，m2﹣m+1），… 又∵点E在直线y=x+1上， ∴m2﹣m+1=m+1
解得m1=0（舍去），m2=4， ∴E的坐标为（4，3）． （Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（﹣2，0）， 由Rt△AOD∽Rt△P1OA得
即
∴a=，a=
，
（舍去），
∴P1（，0）．
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点， 由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，
即：
，
∴EP2=∴DP2=∴a=
=
﹣2=
，
，0）．
∴P2点坐标为（
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（b、0）， 由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE， 由
得：
，
解得b1=3，b2=1，
∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（
，0）．
【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析．另外，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．
2024届山东省济南市天桥区中考数学一模试卷（含答案）
