2024届高三入学调研试卷
理 科 数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 号码粘贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号场第Ⅰ卷
不考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
订1．已知集合A? ?x?1?x?1?，B??xx2?x?2?0?，则(RA)B?（ ）
A．(?1,0] B．[?1,2)
C．[1,2)
D．(1,2]
【答案】C
装 号证【解析】由题意知，
RA??xx?1或x??1?，
考准又B??xx2?x?2?0???x?1?x?2?，?(RA)B??x1?x?2?，故选C．
只 2．已知i为虚数单位，则复数z?1?3i 1?i的共轭复数是（ ）
A． 1?i B．1?i
C．?1?i
D．2?i
卷 【答案】A 名姓【解析】z?1?3i2(1?i) 1?i?(1?i)(1?i)?1?i，?z的共轭复数为1?i，故选A．
此 3．已知平面向量a?(1,x)，b?(4,2)，若向量2a?b与向量b共线，则x?（ ） A．
1 3 B．
12 C．
25 D．
27 级班【答案】B
【解析】由题意，得2a?b?(6,2x?2)，
又向量2a?b与向量b共线，?4?(2x?2)?12，解得x?12． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的x?14π3，则输出的y的值为（ ）
A．
132 B．?12 C．
2 D．?32 【答案】D 【解析】
x?23π?4π，?y?sin(π?2233π?4π)??sin3π??2，故选D． 5．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、
物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是（ ） A．
310 B．
710 C．
25 D．
35 【答案】C
【解析】学生在确定选修地理的情况下，从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有：(历史，政治)，(历史，化学)，(历史，生物)，(历史，物理)，(政治，化学)，(政治，物理)，(政治，
生物)，(化学，生物)，(化学，物理)，(生物，物理)，共10种，
其中含有生物的选择方法有:(历史，生物)，(政治，生物)，(化学，生物)，(生物，物理)，共4种， 则所选的两科中一定有生物的概率P?410?25，故选C． 6．等差数列?an?的前n项和为Sn，若a8?2，S7?98，则a3?a9?（ ） A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】由S7?7a4?98，解得a4?14， 又a8?2，?a3?a9?a4?a8?16．
7．已知直线l过点(?2,0)且倾斜角为?，若l与圆(x?3)2?y2?20相切，则sin(32π?2?)?（ ）
A．
35 B．?35
C．
45 D．?45 【答案】A
【解析】由题意可设直线l:y?tan?(x?2)，
因为l与圆(x?3)2?y2?20相切，?5tan?，21?tan2??20?tan??4，
?sin(3sin2??cos2?tan2??14?132π?2?)??cos2??cos2??sin2??1?tan2??1?4?5，故选A．
?x?y?1?08．已知实数x,y满足约束条件??x?4y?4?0，则z?y?2??y?0x?2的取值范围是（ ）
A．(??,?32][1,??)
B．(??,?12][2,??)
C．[?12,2]
D．(??,?1][2,??)
【答案】A
?【解析】作出约束条件?x?y?1?0?x?4y?4?0表示的平面区域如图中阴影部分所示．
??y?0
z?y?2x?2的几何意义是可行域内的点(x,y)与点P(2,?2)连线所在直线的斜率， 易知A(4,0)，B(0,1)，k?3PA?1，kPB?2，
由图可知y?2x?2?(??,?32][1,??)，故选A．
9．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,??ππ2)的部分图象如图所示，则f(?6)?（
A．?12 B．?1
C．
12 D．?32 【答案】B
【解析】由题意及f(x)的图象得，A?2，T?43?(1112π?π6)?π，???2． 易知2?π6???π2，???π6，?f(x)?2sin(2x?π6)，
?f(?ππππ6)?2sin[2?(?6)?6]?2sin(?6)??1，故选B．
10．在正三棱锥O?ABC中，OA?7，BC?23，M为OA上一点，过点M且与平面ABC平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分，则
OMOA?（ ） A．
1 1332B．
3 C．
2 D．
3 【答案】C
【解析】设过点M且与平面ABC平行的平面分别交OB,OC于点N,T， 则被截得的上下两部分的表面积各去掉S△TMN之后仍相等， 都等于正三棱锥O?ABC表面积的
12． 对于正三棱锥O?ABC，易知其表面积为3?23?2?12?12?(23)2sin60??93， 侧面积为63，所以三棱锥O?MNT的侧面积为923， 93故263?(OMOA)2?3OM34?OA?2．
x2y211．如图，已知双曲线C:a2?b2?1(a?0,b?0)，过右顶点A作一条渐近线的垂线交另一条渐
近线于点B，若OB?3OA，则双曲线的离心率为（ ）
A．233或3 B．2 C．3 D．323 ）
【答案】A
【解析】不妨设点B(x,y)在渐近线y??bax上，易知直线AB的方程为y??ab(x?a)， ?y??bx?x?a32联立得???a?，解得???a?b2y??a(x?a)?2，
y??ab??b??a2?b232OB?3OA，OB2?3OA2，即(aa2?b2)2?(?aba2?b2)2?3a2， 化简得a4?a2b2?3(a2?b2)2，得a2?3b2或2a2?b2，
?e2?c2b242a2?1?a2?3或3，?e?33或3，故选A．
??4?8x?3,1?x12．定义函数f(x)???2?2n?1，则函数g(x)?xf(x)?6在区[1,2](n?N)内所有
???2f(x2),x?2零点的和为（ ） A．n B．2n C．
3(2n?1)
D．
32(2n4 ?1) 【答案】D
【解析】由函数g(x)?xf(x)?6?0，得f(x)?6x， 故函数g(x)的零点即函数y?f(x)和函数y?
6
x
图象交点的横坐标． 由函数f(x)的解析式知，可将f(x)的定义区间分段为[1,2],(2,22],(22,23],,(2n?1,2n]，
并且f(x)在(2n?1,2n](n?2,n?N?)上的图象是将f(x)在(2n?2,2n?1]上的图象上所有点的横坐标
伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
12后得到的． 作出函数y?f(x)在区间[1,2]上的图象，再依次作出在区间(2,4],(4,8],,(2n?1,2n]上的图象，
并作出函数y?6x(x?1)的图象， 如图，结合图象可得两图象交点的横坐标是函数y?f(x)的极大值点，
?1由此可得函数g(x)在区间(2n?1,2n]上的零点为
2n?2n?3?2n?22，
3(1?2n)则函数g(x)在区间[1,2n](n?N?)内所有零点的和为21?2?32(2n?1)，故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知曲线y?13x3?43，则曲线在点(2,4)处的切线方程是 ． 【答案】4x?y?4?0 【解析】
y??x2，∴曲线y?13x3?43在点(2,4)处切线的斜率为4， ∴切线的方程为y?4?4?(x?2)，即4x?y?4?0．
14．某空间几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为1，则该几何体的所有面中最大面的面积为 ．
【答案】3
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，
记为P?ABCD，其中PA?平面ABCD，AB?AD?2BC?2， 设PA?x，由题意可得1?(1?2)?232?x?1，解得x?1，
故PB?CD?PD?5，PC?6，
易得S△PCD?S△PAB，S△PAD?12?1?2?1，S15△PBC?2?1?5?2， S11621四边形ABCD?2?(1?2)?2?3，S△PCD?2?6?5?(2)2?2， 故该几何体中最大面的面积为3． 15．设数列?an?满足nan?1?(n?1)an?n1n?2(n?N?)，a1?2，an? ． n2【答案】n?1
【解析】∵nan?1?(n?1)an?nn?2(n?N?)，an?1a1n?1?nn?(n?1)(n?2)?1n?1?1n?2， ∴
ann?an?111n?1?n?n?1，，a22?a11?12?13， 累加可得an11n?a1?2?n?1，
a1an1nn21?2，?n?1?n?1?n?1，?an?n?1． 16．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且图象关于直线x?2对称，在区间[0,2]上，f(x)?xex，a?f(8?ln7?ln3)，b?f(24?ln17?2ln2)，c?1e，则a，b，c的大小关系是 ．
【答案】c?a?b
【解析】由题意得f(?x)??f(x)，f(4?x)?f(x)，?f(4?x)??f(?x)， 令t??x，则f(4?t)??f(t)，?f(8?t)?f[4?(4?t)]??f(4?t)?f(t)，
∴f(x)是以8为周期的函数，故a?f(ln7173)，b?f(ln4)，
易知ln73,ln174均在区间[0,2]上，
∵在区间[0,2]上，f(x)?x?xex，?f?(x)?(1?x)e，
令f?(x)?0，解得x?1，
故当x?[0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,2]时，f?(x)?0，
?f(x)在x?1处取得极大值．
又f(ln7ln3)?f(ln2)?22，f(ln174)?f(ln4)?ln4ln24?2，且c?f(1)为最大值，
故c?a?b．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在△ABC中，E是BC的中点，AC?3，AE?7，13cos2?ABE?
7cos2?AEB?6?0．
（1）求AB； （2）求C．
【答案】（1）13；（2）C?π3． 【解析】（1）13cos2?ABE?7cos2?AEB?6?0，
?13(1?cos2?ABE)?7(1?cos2?AEB)?0，
即13sin2?ABE?7sin2?AEB，13sin?ABE?7sin?AEB，
由正弦定理得13AE?7AB， 又AE?7，?AB?13．
（2）设EC?a，则Bc?2a，
cosC?9?a2?79?4a2由余弦定理得2?3?a??132?3?2a，?a?2，
?cosC?9?4?72?3?2?12，
C?(0,π)，?C?π3．
18．（12分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上且2DE?ED1，
BF?2FB1．
（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2,AD?1,AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
427． 【解析】（1）在AA1上取一点M，使得A1M?2AM，分别连接EM，B1M，EC1，FC1．
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1?AA1? BB1， 又2DE?ED1，A1M?2AM，BF?2FB1， 所以DE?AM?FB1，
所以四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形． 所以AF∥MB1且AF?MB1，AD∥ME且AD?ME，
又在长方体ABCD?A1B1C1D1中，有AD∥B1C1，且AD?B1C1， 所以B1C1∥ME且B1C1?ME，则四边形B1C1EM为平行四边形， 所以EC1∥MB1，所以AF∥EC1， 所以点C1在平面AEF内．
（2）在长方形ABCD?A1B1C1D1中，以C1为原点，
C1D1所在直线为x轴，C1B1的直线为y轴，C1C所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C1?xyz，
因为AB?2，AD?1，AA1?3，2DE?ED1，BF?2FB1， 所以A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)， 则EF?(?2,1,?1)，AE?(0,?1,?1)，A1E?(0,?1,2)， 设平面AEF的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，
则???n1?EF?00????2x1?y1?z1?0，取法向量??yn1?(1,1,?1)，
??n1?AE?1?z1?0设平面A1EF的一个法向量为n2?(x2,y2,z2)，
则???n2?EF?0???2x2?y2?z2??n??0，取法向量n2?(1,4,2)，2?A1E?0??y2?2z
2?0所以cos?n1?n21?4?271,n2??n|n??， 1|?|n2|3?217设二面角A?EF?A11为?，则sin??1?7?427， 即二面角A?EF?A421的正弦值为
7． 19．（12分）2024年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：
方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；
方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元．
（1）设日收费为y(单位：元)，每天需要用药的猪的数量为n(单位：头)，试写出两种方案中y与n的函数关系式；
（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量(单位：头)进行了统计，得到了如下的2?2列联表：
9月份 10月份 合计 未发病 40 85 125 发病 65 20 85 合计 105 105 210 根据以上列联表判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关． 附：
P(k2?k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10．828
2024届高三入学调研试卷 理科数学(二) 解析
