第32练 双曲线的渐近线和离心率问题
[题型分析·高考展望] 双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.
体验高考
1.(2015·四川)过双曲线
x2－
y2
＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线3
于A，B两点，则|AB|等于( ) 43A. B.23 C.6 D.43
3
x2y2
2.(2016·天津)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆
4b与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
x23y2x24y2x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 444344412.
x2x22
2
3.(2016·浙江)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，
mne2分别为C1，C2的离心率，则( ) A.m＞n且e1e2＞1 C.m＜n且e1e2＞1
B.m＞n且e1e2＜1 D.m＜n且e1e2＜1
4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和 C2，若C1的渐近线为y＝±3x，则C2的渐近线方程为____________. x22
5.(2015·北京)已知双曲线2－y＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.
a
、 高考必会题型
题型一 双曲线的渐近线问题
例1 (1)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－
3a
，则的值为( ) 2b
2339323
A.－ B.－ C.－ D.－
27223
x22
(2)如图，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，
aAF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).
①求双曲线C的方程；
x0x3
②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相
a2|MF|
交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.
|NF|
x2y2x2y2
变式训练1 已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1
abab
与C2的离心率之积为
15
，则C2的渐近线方程为( ) 4
A.x±2y＝0 B.2x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0 题型二 双曲线的离心率问题
x2y2
例2 (1)点A是抛物线C1：y＝2px(p>0)与双曲线C2：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的
ab
2
交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于( ) A.2 B.3 C.5 D.6
x2y2
(2)(2016·课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1
ab1
与x轴垂直，sin F2＝，则E的离心率为( )
33
A.2 B. C.3 D.2
2
y2
变式训练2 (2016·上海)双曲线x－2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且
b
2
与双曲线交于A、B两点.
π
(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2→→→
(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A＋F1B)·AB＝0，求l的斜率.
题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题
x2y2
例3 已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆
ab→→
与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且OQ＝3OP，则双曲线C的离心率为( ) A.
x2y2y2x2
变式训练3 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)以及双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第
ababx2y2
一象限三等分，则双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为( )
ab2323A.2或 B.6或 C.2或3 D.3或6
33777 B. C. D.7 432
高考题型精练
x221.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦
2→→点.若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( ) A.?－
?
33?
，
33?
B.?－
?
33? ，66?2222?
C.?－ ?3，3?
2323?D.?－ ?3，3?x2y2
2.已知双曲线2－2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的离心率为( )
abA.5 B.
x2y2
3.已知双曲线2－2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，
ab则此双曲线的离心率e的最大值为( ) 457A. B. C.2 D. 333
x2y2
4.双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，
ab若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是( )
55
C.5或 D.2 22
3＋55＋15－13－5A. B. C. D.
2222
5.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A.3 B.2 C.3 D.2
x2y2x2y2
6.若实数k满足0 259－k25－k9A.焦距相等 C.半虚轴长相等 B.半实轴长相等 D.离心率相等 x2y2 7.已知F是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y＝mx ab是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C上，则m＝________. bx2y2 8.设P为直线y＝x与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直 3aab于x轴，则双曲线的离心率e＝________. x2y2 9.(2016·山东)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB， abCD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________. x2y2→→ 10.已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足AP⊥BP，若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线 ab与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________. x2y2 11.已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点 ab恰好在以F2为圆心，|OF2|(O为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为______. 12.已知双曲线 C1：x2－y2 ＝1. 4 (1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，3)的双曲线C2的标准方程； →→ (2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点，当OA·OB＝3时，求实数m的值.
第32练 双曲线的渐近线和离心率问题
