第11讲 牛吃草问题
【专题精华】
牛吃草问题也是牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提
出来的，形如：牧场上有一片均匀生长的草地，可供10头牛吃20天，或15头牛吃10天。问供25头牛可吃几天？
解答这类问题，难点在于草的总量在不断变化，因此解答的关键是想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。求出原有草地上的草及每天新长出的草，问题就容易解决了。 【教材深化】
[题1] 一片草地，每天都匀速的长出青草，这片草地可供24头牛吃6周或18头
牛吃10周。问供给19头牛吃，可以吃几周？
<敏捷思维> 假设1头牛1周吃的草的数量为1份，那么24头牛6周需要吃24×6=144(份),此时新长的草与原有的草均被吃完；18头牛10周需要吃18×10=180(份),此时新长的草与原有的草也都被吃完。而144份是原有的草与6周新长出的草的总和；180份是原有的草与10周新长出的草的总和，因此每周新长出的草的份数是（180—144）÷（10—6）=9（份），所以原有草的数量为：180—9×10=90（份）。这片草地每周新长出的9份草相当于可安排9头牛专门吃，于是这片草地可供19头牛吃90÷（19—9）=9（周）。 <全解> 每周新长出的草的份数：（18×10—24×6）÷（10—6）=9（份）
原有草的份数：18×10—9×10=90（份） 这片草地可供19头牛吃的周数：90÷（19—9）=9（周） 答：供给19头牛吃，可以吃9周。
<拓展探究> 解牛吃草问题，主要是把草地上的草分成原有的草与新长出的草。因
为原有的草与每天新长出的草是不变的量，所以首先根据：两次吃草的总份数的差÷两次吃草的时间（周数或天数）的差=单位时间内新长出的草的份数，求出单位时间内新长出的草的份数，接着求出原有草的份数，这样就容易求出题目中的问题了。 [能力冲浪]
1、一片草地，每天都匀速的长出青草。这片草地可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问供给24头牛吃，可以吃多少天？
2、牧场上有一片草地，每天牧草都在匀速生长。这片牧草可供８头牛吃８周，或者９头牛吃６周，现有11头牛，问可以供这些牛吃几周？
3、牧场上的青草每天都在匀速生长。这片牧草可供7头牛吃30天，或者9头牛吃
20天。问供给15头牛吃，可以吃多少天？
[题2] 一牧场长满了青草，每天青草都均匀的生长。这片牧场可供8头牛
吃10天，或可供6头牛吃20天，问可供多少头牛吃5天？
<敏捷思维> 假设1头牛1天吃的草的数量为1份，那么8头牛10天需要吃8×10=80(份),此时新长的草与原有的草均被吃完；6头牛20天需要吃6×20=120(份),此时新长的草与原有的草也都被吃完。而80份是原有的草与10天新长出的草的总和；120份是原有的草与20天新长出的草的总和，因此每天新长出的草的份数是（120—80）÷（20—10）=4（份），所以原有草的数量为：80—4×10=40（份）。这片草地每周新长出的4份草相当于可安排4头牛来吃，原有的草可供40÷5=8头牛吃5天，于是这片草地一共可供4+8=12头牛吃5天。
<全解> 每天新长出的草的份数：（6×20—8×10）÷（20—10）=4（份）
原有草的份数：8×10—4×10=40（份） 4+40÷5=12（头） 答：可供12头牛吃5天。
<拓展探究> 首先求出单位时间内新长出的草的份数，接着求出原有草的份数，然
后用几头牛吃单位时间内新长出的草，再用几头牛吃原有的草，最后求出一共需要几头牛。 [能力冲浪]
1、一片牧场长满了青草，每天青草都均匀的生长。这片牧场可供4头牛吃40天，或可供5头牛吃30天，问可供多少头牛吃24天？
2、有一口水井，井底不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可以抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？
3、一片草地，每天都匀速的长出青草。如果9头牛吃，12天吃完所有的草；如果8头牛吃，16天吃完所有的草。现在，开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再用6天吃完所有的草。问增加了多少头牛？
【生活数学】
[题3] 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少。照这样计算：某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。那么，可供多少头牛吃10天？
<敏捷思维> 由题意可知，牧场上的草不仅没有新长的，反而以固定的速度在减少。这样原有的草量由两部分来消耗：一部分是看得见的牛，实实在在吃草的牛；另一部分是看不见的牛，寒冷的化身。应首先求出每天减少的草量及原有的草量，然后再求可供多少头牛吃10天。
<全解> 把一头牛一天吃的草量看作1份。 20头牛5天吃的草量为：20×5=100（份） 15头牛6天吃的草量为：15×6=90（份）
寒冷使牧场1天减少的草量为：（100—90）÷（6—5）=10（份） 牧场上原有的草量：100+10×5=150（份） （150—10×10）÷10=5（头） 答：可供5头牛吃10天。
<拓展探究> 在现实生活中，我们经常碰到，牛在吃草时，草不是在新长出来，而
是由于天气等原因在减少这类问题，求出每天减少的草量及原有的草量是解这类题的关键。
[能力冲浪]
1、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。已知牧场上的草可供12头牛吃９天，或可供10头牛吃１０天。照这样计算，这个牧场可供多少头牛吃12天？
2、某水池漏水，装满一池水后，如果用20部抽水机5小时可将水抽完，或用15部抽水机6小时将水抽完。问用多少部抽水机10小时可将满池水抽完？
3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少，牧场上的草可供16头牛吃6天，或可供20头牛吃5天。那么，可供11头牛吃几天？
[题4] 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩子每分钟走20级，用了5分钟到达楼上；女孩每分钟走15级，用了6分钟到达楼上。问该自动扶梯有多少级可见扶梯？
<敏捷思维> 这题可看作“牛吃草问题”，题中的“人的速度”可看作“牛”，“自动扶梯的速度”可看作“由于寒冷每天减少的草”，“可见扶梯的梯级”可看作“原有草”，上楼的速度由两部分组成：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是扶梯的速度。此题关键是求出扶梯每分钟走多少级。
<全解> 男孩5分钟走了20×5=100（级） 女孩6分钟走了15×6=90（级）
扶梯每分钟走（100—90）÷（6—5）=10（级） 自动扶梯有100+10×5=150（级） 答：自动扶梯有150级可见扶梯。
<拓展探究> 题4与题3的本质特征一样，都属“牛吃草问题”，并且数据都没有改变，题4中所求的“自动扶梯有150级”与题3中求出的“牧场上原有的草量150份”完全吻合，当然解题方法也相同。 [能力冲浪]
1、自动扶梯以均匀速度由上往下行驶着，向东和刘胜要从扶梯下楼。已知向东每分钟走33级，刘胜每分钟走24级，结果向东用5分钟，刘胜用6分钟分别到达楼下。该扶梯共有多少级台阶？
2、两个顽皮的兄弟逆着自动扶梯行驶的方向行走。在20秒钟里，兄可走27级台阶，弟可走24级台阶，结果兄走了2分钟到达另一端，弟走了3分钟到达另一端。问该扶梯共有多少级？
3、仙桃商场的自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，三个孩子甲、乙、丙要从扶梯上楼。已知甲每分钟走5个台阶，用了10分钟到达楼上；乙每分钟走7级，用了9分钟到达楼上；丙用了12分钟到达楼上，那么丙每分钟走多少级台阶？
【感受奥赛】
[题5] 武昌火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有
10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票后多少分钟就没有人排队？ <敏捷思维> 题目中“检票开始前已经排队的人”，相当于“原有的草”，“每分钟来10人”相当于“新长出的草”。用牛吃草问题的思路来想就很容易解决问题。 <全解> 25×8—10×8=120（人） 120÷（25×2—10）=3（分钟） 答：检票后3分钟就没有人排队。
<拓展探究> 牛吃草问题有许多变形，例如像检票问题、水井抽水、自动扶梯上楼等
问题，都可以通过分析找出它们与牛吃草问题的本质特征是相同的，用牛吃草问题的解题思路解答。 [能力冲浪]
1、仙桃客运总站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
2、汉口火车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口需要30分钟；若同时开6个检票口则需20分钟。如果要使等候检票的队伍10分钟消失，需要同时开几个检票口？
3、流潭公园游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入口每分钟可以进入10个游客。如果开放4个入口20分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
小学数学竞赛专题 - 牛吃草问题
