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大一上学期(第一学期)高数期末考试题1

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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题

1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).

(A)f?(0)?2 (B)f?(0)?1(C)f?(0)?0 (D)f(x)不可导.

2. 设?(x)?1?x1?x,?(x)?3?33x,则当x?1时(  ).

(A)?(x)与?(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;

(B)?(x)与?(x)

是等价无穷小; (C)?(x)是比?(x)高阶的无穷小; ?(D)?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

x3. 若

F(x)??0(2t?x)f(t)dt,其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且

f?(x)?0,则( ).

(A)函数F(x)必在x?0处取得极大值; (B)函数F(x)必在x?0处取得极小值;

(C)函数F(x)在x?0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点;(D)函数F(x)在x?0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。14.

设f(x)是连续函数,且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2(A)2 (B)2?2(C)x?1 (D)x?2.

5、设x2y?e2y?siny,则

dydx?( ) (A) 2xy2xy?e2ycosy?2e2y (B) 2xycosy?x2 (C) 0 (D) cosy?2e2y?x2

6、设函数f(x)?1x,则( )。

ex?1?1(A) x?0,x?1都是f(x)的第一类间断点; (B) x?0,x?1都是f(x)的第二类间断点;

(C) x?0是f(x)的第一类间断点, x?1是f(x)的第二类间断点; (D) x?0是f(x)的第二类间断点, x?1是f(x)的第一类间断点。

)

二、填空题

4.x?0lim(1?3x)已知2sinx? .

5.

cosx是f(x)的一个原函数,x.

\\

则?f(x)?cosxdx?x

12?6.

-x2arcsinx?11?x2dx? .

127.已知limx?0xf(2x)?2,则 lim? 。

x?0f(3x)x

三、解答题

x?ye?sin(xy)?1确定,求y?(x)以及y?(0). y?y(x)7. 设函数由方程8. ·

1?x7求?dx.7x(1?x)9.

?x? 1?xe,  x?0设f(x)?? 求?f(x)dx.?32?2x?x,0?x?1?10.

1011. 设函数f(x)连续,,且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax,A为常数. 求

12. 求微分方程xy??2y?xlnx满足

y(1)??19的解.

四、 解答题

13. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0),过点(0,1),且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.

14. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x 轴围

(1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题

15. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减,证明对任意的q?[0,1],

成平面图形D.

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.

??16. 设函数f(x)在?0,??上连续,且0x?f(x)dx?0,0?f(x)cosxdx?0.

证明:在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.(提

F(x)?示:设

?f(x)dx0)

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D

二、 填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) —

?1cosx2 ()?c16e2x24. . 5..6. . 7. .

3三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)

7.解:方程两边求导

x?ye(1?y?)?cos(xy)(xy??y)?0

ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)

x?0,y?0,y?(0)??1

77x6dx?du 8.解:u?x  1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 < 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 9.解:??31f(x)dx??xe?xdx???301?300102x?x2dx

??xd(?e?x)??01?(x?1)2dx0?2?x?x????xe?e???3??

2(令x?1?sin?)?cos?d? 

4

10.解:由f(0)?0,知g(0)?0。

x1xt?u???2e3?1 ~

g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)

g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)

g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2

?A?AA?22,g?(x)在x?0处连续。

x?0limg?(x)?limx?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx11.解:dxx

dxdxy?e?x(?e?xlnxdx?C)?2211xlnx?x?Cx?29 3

111y(1)??,C?0y?xlnx?x39 9 ,

四、 解答题 $

?y??2?ydx?y012.解:由已知且,

将此方程关于x求导得y???2y?y?

x

2特征方程:r?r?2?0 解出特征根:r1??1,r2?2.

?x2xy?Ce?Ce12其通解为

代入初始条件y(0)?y?(0)?1,得

21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为:

C1?21,C2?33

1y?lnx0?(x?x0)x(x,lnx)0,013.解:(1)根据题意,先设切点为0切线方程:

1y?xx?e0e由于切线过原点,解出,从而切线方程为:

?

1则平面图形面积

A??(ey?ey)dy?01e?12

(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V1?1?e23

V2???(e?ey)2dy0

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

五、证明题

q1qV?V1?V2?q?6(5e2?12e?3)

114. 证明:0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)000q1q

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0?1?[0,q]?2?[q,1]

?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1f(?1)?f(?2)?故有:

q0

?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。

x

015.证:构造辅助函数:。其满足在[0,?]上连续,

在(0,?)上可导。F?(x)?f(x),且F(0)?F(?)?0

F(x)??f(t)dt,0?x??由题设,有

?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx0000????,

有0,由积分中值定理,存在??(0,?),使F(?)sin??0即F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理,知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?),使F?(?1)?0及F?(?2)?0,即f(?1)?f(?2)?0.

?F(x)sinxdx?0

大一上学期(第一学期)高数期末考试题1

】大一上学期高数期末考试一、单项选择题1.设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).(A)f?(0)?2(B)f?(0)?1(C)f?(0)?0(D)f(x)不可导.2.设?(x)?1?x1?x,?(x)?3?33x,则当x?1时(  ).(
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