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大一上学期高数期末考试
一、单项选择题
1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
(A)f?(0)?2 (B)f?(0)?1(C)f?(0)?0 (D)f(x)不可导.
2. 设?(x)?1?x1?x,?(x)?3?33x,则当x?1时( ).
(A)?(x)与?(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;
(B)?(x)与?(x)
是等价无穷小; (C)?(x)是比?(x)高阶的无穷小; ?(D)?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
x3. 若
F(x)??0(2t?x)f(t)dt,其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0,则( ).
(A)函数F(x)必在x?0处取得极大值; (B)函数F(x)必在x?0处取得极小值;
(C)函数F(x)在x?0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点;(D)函数F(x)在x?0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。14.
设f(x)是连续函数,且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2(A)2 (B)2?2(C)x?1 (D)x?2.
、
5、设x2y?e2y?siny,则
dydx?( ) (A) 2xy2xy?e2ycosy?2e2y (B) 2xycosy?x2 (C) 0 (D) cosy?2e2y?x2
6、设函数f(x)?1x,则( )。
ex?1?1(A) x?0,x?1都是f(x)的第一类间断点; (B) x?0,x?1都是f(x)的第二类间断点;
(C) x?0是f(x)的第一类间断点, x?1是f(x)的第二类间断点; (D) x?0是f(x)的第二类间断点, x?1是f(x)的第一类间断点。
、
)
二、填空题
4.x?0lim(1?3x)已知2sinx? .
5.
cosx是f(x)的一个原函数,x.
\\
则?f(x)?cosxdx?x
12?6.
-x2arcsinx?11?x2dx? .
127.已知limx?0xf(2x)?2,则 lim? 。
x?0f(3x)x
三、解答题
x?ye?sin(xy)?1确定,求y?(x)以及y?(0). y?y(x)7. 设函数由方程8. ·
1?x7求?dx.7x(1?x)9.
?x? 1?xe, x?0设f(x)?? 求?f(x)dx.?32?2x?x,0?x?1?10.
1011. 设函数f(x)连续,,且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax,A为常数. 求
12. 求微分方程xy??2y?xlnx满足
y(1)??19的解.
四、 解答题
13. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0),过点(0,1),且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
14. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x 轴围
(1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题
15. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减,证明对任意的q?[0,1],
?
成平面图形D.
q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.
??16. 设函数f(x)在?0,??上连续,且0x?f(x)dx?0,0?f(x)cosxdx?0.
证明:在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.(提
F(x)?示:设
?f(x)dx0)
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 5、D 6、D
二、 填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) —
?1cosx2 ()?c16e2x24. . 5..6. . 7. .
3三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
7.解:方程两边求导
x?ye(1?y?)?cos(xy)(xy??y)?0
ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)
x?0,y?0,y?(0)??1
77x6dx?du 8.解:u?x 1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 < 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 9.解:??31f(x)dx??xe?xdx???301?300102x?x2dx
??xd(?e?x)??01?(x?1)2dx0?2?x?x????xe?e???3??
2(令x?1?sin?)?cos?d?
4
10.解:由f(0)?0,知g(0)?0。
x1xt?u???2e3?1 ~
g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)
g?(x)?xf(x)??f(u)duxx02 (x?0)
g?(0)?lim0x?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2
?A?AA?22,g?(x)在x?0处连续。
x?0limg?(x)?limx?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx11.解:dxx
dxdxy?e?x(?e?xlnxdx?C)?2211xlnx?x?Cx?29 3
111y(1)??,C?0y?xlnx?x39 9 ,
四、 解答题 $
?y??2?ydx?y012.解:由已知且,
将此方程关于x求导得y???2y?y?
x
2特征方程:r?r?2?0 解出特征根:r1??1,r2?2.
?x2xy?Ce?Ce12其通解为
代入初始条件y(0)?y?(0)?1,得
21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为:
C1?21,C2?33
1y?lnx0?(x?x0)x(x,lnx)0,013.解:(1)根据题意,先设切点为0切线方程:
1y?xx?e0e由于切线过原点,解出,从而切线方程为:
?
1则平面图形面积
A??(ey?ey)dy?01e?12
(2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1V1?1?e23
V2???(e?ey)2dy0
D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
五、证明题
q1qV?V1?V2?q?6(5e2?12e?3)
114. 证明:0q?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)000q1q
?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0?1?[0,q]?2?[q,1]
?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1f(?1)?f(?2)?故有:
q0
?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。
x
015.证:构造辅助函数:。其满足在[0,?]上连续,
在(0,?)上可导。F?(x)?f(x),且F(0)?F(?)?0
F(x)??f(t)dt,0?x??由题设,有
?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx0000????,
有0,由积分中值定理,存在??(0,?),使F(?)sin??0即F(?)?0
综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理,知存在
?1?(0,?)和?2?(?,?),使F?(?1)?0及F?(?2)?0,即f(?1)?f(?2)?0.
?F(x)sinxdx?0