(xc
③
，yc)=( l1+l2,vct-
12gt2)
a与 b相碰的条件是,存在时刻t1, 使满足
vxt1=l1
④
11221v0t1-gt12≥0⑥
2vyt1-gt12= v0t1-gt12⑤
⑥式来自于水平地面对质点y坐标的限制。由④⑤⑥式得
vy=
⑦
vx
⑧
由于 a与 b碰撞时间极短,可忽略重力的影响。在a与b碰撞前后,系统的动量和能量守恒
mavx= mav'x+ mbv'bx⑨
ma+ mbvby(t1)=mav'y(t1)+mbv'by(t1)⑩
12v0
≥g
l12v0
ma[vx2+ vy2 (t1)]+
12mbvby2(t1)=ma[v'x2+ v'y2 (t1)]+
1212mb[v'bx2+
11 v'by2 (t1)] ○
式中,碰后的有关速度用打撇的字母表示.由题意,可认为mb=0.将11式得 mb=0代入⑨⑩○
12 vx=v'x ，vy (t1)＝v'y (t1) ○
可见,质点b的运动对质点a的运动的影响可忽略。
同理,a与c相碰的条件是,存在时刻t2,使满足
13 vxt2=l1+ l2 ○
121vct2-gt22≥0
214 vyt2-gt22= vct2-gt22 ○
15 ○
121314○15式得 由○○
16 vc=vy ○vx≥g
l1?l22vc17 ○
1213式得,质点c的初速度vc为 由⑦⑧○○
18 vc=v0 ○
质点 a的初速度应满足的条件为
vx≥g
l1?l22v019 ○
20 vy=vc=v0 ○
121314151617181920各评分参考:①②③式各 2分 ,④⑤⑥⑦⑧○○○○○○○○○1分. 13.(20分)
设此半导体单位体积内有n个自由电子(因此也有n个空穴),以S表示此半导体的横截面积,vl和v2分别表示半导体中空穴和自由电子的定向移动速率,Il和I2分别表示半导体中空穴和自由电子定向移动形成的电流,则
Il=nevlS ① I2=nev2S ②
半导体中的总电流为
I =Il +I2 ③
由此得
n=
Iev1S?ev2S④
由题意知 ,此半导体单位体积内有 瓦个硅原子释放出自由电子. 单位体积半导体硅内的原子个数为
N=
?MN0 ⑤
式中ρ和M分别为硅的密度和摩尔质量,N0=6.02×1023mo1-1是阿伏伽德罗常数.由④⑤式得
nIM?= N?eN0S(v1?v2)⑥
代入有关数据得
nN=1×105 ⑦
即此半导体材料中,平均约1×105个硅原子释放出一个自由电子. 评分参考:①②式各 4分 ,③式 3分,④式 2分 ,⑤式 3分 ,⑥⑦式各2分. 14.(20分)
(1)设电子做圆周运动的圆轨道上的磁感应强度大小为 B,方向与环面垂直。由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
v2evB=m
R ①
设在圆轨道切线方向作用在电子上作用力为F,按照动量定理有
F?t= ?(mv) ②
由①②式得
F=eR
?B ?t ③
(2)按照法拉第电磁感应定律 ,在电子运动的圆轨道上的感应电动势为
ξ=
?? ?t④
式中圆轨道所张的面上的磁通量 Ф为
Ф=πR2B ⑤
这里, B为圆轨道所张的面上的平均磁感应强度。由④⑤式得
ξ=πR2
?B?t ⑥
考虑电子运行一圈感应电场所做的功,由电动势的定义可得
ξ=2πRE ⑦
电子在圆轨道切向所受到的力为
F=qE ⑧
由⑥⑦⑧式得,
F=eR
12?B?t ⑨
(3)③和⑨式所表示的是同样的力的大小.联立③⑨式得
?B?t=
12?B?t
⑩
这就是为了使电子在不断增强的磁场中沿着半径不变的圆轨道加速运动,
?B?B和?t?t之间必须满足的定量关系.
评分参考:第 (1)问 6分 ,①②③式各 2分 ;第 (2)问10分 ,④⑤⑦⑧⑨式各2分 ;第 (3)问 4分 ,⑩式4分. 15.(20分)
(1)平衡时气缸A、B内气体的压强相等,故
mAgmBg?SASB ①
由①式和题给条件得
SA:SB=2:1 ②
(2)两活塞上各放一质量为2m的质点前,气体的压强pl和体积V1分别为
p1=
2mgmg?SASB ③
V1=SBh ④
两活塞上各放一质量为 2m的质点后,B中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和,B中活塞将一直下降至气缸底部为止,B中气体全部进入气缸A.假设此时气缸A中活塞并未上升到气缸顶部,气体的压强p2为
p2=
4mg2mg?SASB32 ⑤
设平衡时气体体积为V2.由于初态末态都是平衡态,由理想气体状态方程有
p1V1p2V2?T0T0 ⑥
由③④⑤⑥式得
2015第32届全国中学生物理竞赛预赛试题与参考答案
