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动点问题
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题型一:绝对值方程
教师备课提醒:由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础,所以授课老师在讲解本部分内容 时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法. 含绝对值的一次方程的解法
⑴形如 ax ? b ? c ?a ? 0? 型的绝对值方程的解法:
①当c ? 0 时,根据绝对值的非负性,可知此时方程无解;
b
②当c ? 0 时,原方程变为 ax ? b ? 0 ,即 ax ? b ? 0 ,解得 x ? ? ;
a c ? b ?c ? b
③当c ? 0 时,原方程变为 ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c ,解得 x ? 或 x ? .
a a ⑵形如 ax ? b ? cx ? d ?ac ? 0? 型的绝对值方程的解法:
①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ;
1
②分别解方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? . ⑶形如 ax ? b ? cx ? d ?ac ? 0? 型的绝对值方程的解法: ①根据绝对值的非负性可知cx ? d ? 0 ,求出 x 的取值范围;
②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ; ③分别解方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ; ④将求得的解代入cx ? d ? 0 检验,舍去不合条件的解.
例题赏析
x ???. 【例题1】 ⑴若 x ? 5 ? 2 ,则
⑵若 3x ? 1 ? 4 ,则 x ???.
1 1
⑶解关于 x 的绝对值方程: 1 ? 2x ? ? 1 .
3 6
5 9 5x ? ? ;⑶ x ? 或 x ? ? 【解析】 ⑴ x ? ?3 或 x ? ?7 ;⑵ x ? 1 或
3 4 4
【例题2】 ⑴ 2x ? 3 ? 4 ? x ;
⑵ ?3x ? 2 ? 3 ? x .
1 1 5x ? 或 x ? ? 或 x ? 【解析】 ⑴ x ? ?7 ;⑵ 3 4 2
【例题3】 ⑴若 5x ? 6 ? 6x ? 5 ,则 x ???.
【解析】
⑵解方程 4x ? 3 ? 2x ? 9 . ⑴11; ⑵解法一:
3
令4x ? 3 ? 0 得 x ? ? ,将数分成两段进行讨论:
4
3 3
①当 x ?? 时,原方程可化简为: ?4x ? 3 ? 2x ? 9 , x ? ?2 在 x ?? 的范围内,是方程
4 4 的解.
3 3
②当 x ?? 时,原方程可化简为: 4x ? 3 ? 2x ? 9 , x ? 3 在 x ?? 的范围内,是方程的
4 4 解.
综上所述 x ? ?2 和 x ? 3 是方程的解. 解法二:
9
依据绝对值的非负性可知 2x ? 9 ≥ 0 ,即 x ≥ ? .原绝对值方程可以转化为
2
① 4x ? 3 ? 2x ? 9 ,解得: x ? 3 ,经检验符合题意. 4x ? 3 ? ?(2x ? 9 ,解得 x ? ?2 ,经检验符合题意. ②
综合①②可知 x ? ?2 和 x ? 3 是方程的解.
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题型二:数轴上动点问题
思路导航
1. 数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值,②两点间的距离=
右端点表示的数? 左端点表示的数。 例如:
a,b 两点的距离可表示为b ? a ,也可表示为 a ? b 或者 b ? a
2. 点在数轴上运动时,满足左减右加,即一个点表示的数为 a,向左运动 b 个单位后表示的数为
a ? b ;向右运动 b 个单位后所表示的数为 a ? b 。
3. 线段中点坐标:如上图,线段 ab 的中点所表示的数是
a ? b 2
4. 解绝对值方程例如 10 ?19t ? 4t ? 7 .
例题赏析
【例题4】 如图,已知数轴上的三点 A、B、C,若 AC=120,点 B 为线段 AC 的中点,且点 C 对应
的数为 40. (1) 点 A 对应的数是 ;点 B 对应的数是 . (2) 动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发向左运动,同时动点 R 从 A 出发向右运动, 点 P、Q、R 的速度分别为 2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒、1 个单位长度每秒. ①当点 Q 追上点 P 时,求此时点 R 对应的数是多少?
②若点 M 为线段 PR 的中点,点 N 为线段 RQ 的中点,运动多少秒时恰好满足 MR=RN?
(2014 年育才期末第 30 题)
【解析】
⑴ ?80 ; ?20
q=40 ? 5t ; ⑵① p ? ?80 ? 2t ; r ? ?80 ? t 若点 Q 追上点 P,
则 p=q,即?80 ? 2t ? 40 ? 5t ,解得t ? 40 当t ? 40 ,则
1 3
m ? ?80 ? t ; n ? t ②
2 2
1 3
MR ? m ? r ? ? t ? 80 ? 80 ? t ? t
2 2
RN ? r ? n ? ?80 ? t ? 20 ? 2t ? ?60 ? 3t
MR=RN
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七年级上数学期末压轴题专项复习:动点问题(pdf版)
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