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动点问题
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题型一：绝对值方程
教师备课提醒：由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础，所以授课老师在讲解本部分内容 时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法． 含绝对值的一次方程的解法
⑴形如 ax ? b ? c ?a ? 0? 型的绝对值方程的解法：
①当c ? 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；
b
②当c ? 0 时，原方程变为 ax ? b ? 0 ，即 ax ? b ? 0 ，解得 x ? ? ；
a c ? b ?c ? b
③当c ? 0 时，原方程变为 ax ? b ? c 或 ax ? b ? ?c ，解得 x ? 或 x ? ．
a a ⑵形如 ax ? b ? cx ? d ?ac ? 0? 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ；
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②分别解方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ． ⑶形如 ax ? b ? cx ? d ?ac ? 0? 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知cx ? d ? 0 ，求出 x 的取值范围；
②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ； ③分别解方程 ax ? b ? cx ? d 和 ax ? b ? ??cx ? d ? ； ④将求得的解代入cx ? d ? 0 检验，舍去不合条件的解．
例题赏析
x ???． 【例题1】 ⑴若 x ? 5 ? 2 ，则
⑵若 3x ? 1 ? 4 ，则 x ???．
1 1
⑶解关于 x 的绝对值方程： 1 ? 2x ? ? 1 ．
3 6
5 9 5x ? ? ；⑶ x ? 或 x ? ? 【解析】 ⑴ x ? ?3 或 x ? ?7 ；⑵ x ? 1 或
3 4 4
【例题2】 ⑴ 2x ? 3 ? 4 ? x ；
⑵ ?3x ? 2 ? 3 ? x ．
1 1 5x ? 或 x ? ? 或 x ? 【解析】 ⑴ x ? ?7 ；⑵ 3 4 2
【例题3】 ⑴若 5x ? 6 ? 6x ? 5 ，则 x ???．
【解析】
⑵解方程 4x ? 3 ? 2x ? 9 ． ⑴11； ⑵解法一：
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令4x ? 3 ? 0 得 x ? ? ，将数分成两段进行讨论：
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3 3
①当 x ?? 时，原方程可化简为： ?4x ? 3 ? 2x ? 9 ， x ? ?2 在 x ?? 的范围内，是方程
4 4 的解．
3 3
②当 x ?? 时，原方程可化简为： 4x ? 3 ? 2x ? 9 ， x ? 3 在 x ?? 的范围内，是方程的
4 4 解．
综上所述 x ? ?2 和 x ? 3 是方程的解． 解法二：
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依据绝对值的非负性可知 2x ? 9 ≥ 0 ，即 x ≥ ? ．原绝对值方程可以转化为
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① 4x ? 3 ? 2x ? 9 ，解得： x ? 3 ，经检验符合题意． 4x ? 3 ? ?(2x ? 9 ，解得 x ? ?2 ，经检验符合题意． ②
综合①②可知 x ? ?2 和 x ? 3 是方程的解．
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题型二：数轴上动点问题
思路导航
1. 数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值，②两点间的距离=
右端点表示的数? 左端点表示的数。 例如：
a，b 两点的距离可表示为b ? a ，也可表示为 a ? b 或者 b ? a
2. 点在数轴上运动时，满足左减右加，即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为
a ? b ；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a ? b 。
3. 线段中点坐标：如上图，线段 ab 的中点所表示的数是
a ? b 2
4. 解绝对值方程例如 10 ?19t ? 4t ? 7 ．
例题赏析
【例题4】 如图，已知数轴上的三点 A、B、C，若 AC=120，点 B 为线段 AC 的中点，且点 C 对应
的数为 40. （1） 点 A 对应的数是 ；点 B 对应的数是 . （2） 动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从 A 出发向右运动， 点 P、Q、R 的速度分别为 2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒、1 个单位长度每秒. ①当点 Q 追上点 P 时，求此时点 R 对应的数是多少？
②若点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，运动多少秒时恰好满足 MR=RN？
（2014 年育才期末第 30 题）
【解析】
⑴ ?80 ； ?20
q=40 ? 5t ； ⑵① p ? ?80 ? 2t ； r ? ?80 ? t 若点 Q 追上点 P,
则 p=q，即?80 ? 2t ? 40 ? 5t ，解得t ? 40 当t ? 40 ，则
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m ? ?80 ? t ； n ? t ②
2 2
1 3
MR ? m ? r ? ? t ? 80 ? 80 ? t ? t
2 2
RN ? r ? n ? ?80 ? t ? 20 ? 2t ? ?60 ? 3t
MR=RN
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七年级上数学期末压轴题专项复习：动点问题(pdf版)
