??9. 如图，四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC延长线交于E，则?AEB?_________________.
ADBC?AFDEBCE
【答案】21
【解析】作AF∥BC，FC∥AB，易知，四边形ABCF为平行四边形，
?BAF??FCB?180???ABC?102?，??FCD?162??102??60?，?CDF是等边三角形，即?AFD为等腰三角形，?AFD?78??60??138?,?AEB??FAE?21?
?10. 如图，在直角梯形ABCD中，?ABC??BCD?90,AB?BC?10,点M在BC上，使得?ADM是正三角形，则?ABM与?DCM的面积和是________________。
DCHDCMABMAB
【答案】300?1503
【解析】将图补成正方形，易知?ABM≌?AHD，令BM?HD?x，则
CD?CM?10?x，由勾股定理得?10?x?2??10?x?2?x2?102，解得
x?20?103，S?11?10?20?103?103?1022????2?300?1503
?，AD?3，二、（本题15分）如图，?ABC中，?ACB?90,点D在CA上，使得CD?1
并且?BDC?3?BAC，求BC的长。
BBCDA
CDEA
【答案】BC?411。 11 6
【解析】设BC?x，则BD?作?DBA的平分线交AC于点E，x2?1，AB?x2?16，?DBE?11?DBA???BDC??A???ABE，则?BDE∽?ADB,所以22BD2?DE?DA?3DE，由角平分线定理可知，
DEBDDEBD3BD????DE?。因此AEABAE?DEAB?BDAB?BDx?1?29x2?1x2?16?x2?1，解得BC?x?411。 11三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：abcd?ab?cd，其中数字c可
以是0。
【答案】abcd?9801,2025,3025
【解析】设x?ab，y?cd，则由题意得100x?y??x?y?，即
2??2x2??2y?100?x?y2?y?0，因为x为整数，
?????2y?100??4y2?y?4?2500?99y??4t2，99y??50?t??50?t?，
2???0?t?50，且在100内11的倍数只有9个，经验证，t?49时，y?1，t?5时，y?25，解得??x?98?x?20?x?30，?，?，因此，abcd?9801,2025,3025 y?1y?25y?25???四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正
整数中，至少有一个素数，求最小的n。
【解析】由于2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,??,a15的最小素因子p1,p2,??,p15,则必有一个素数?47,不失一般性，设p15?47，由于p15是合数a15的最小素因子，因此a15?p15?472?2009矛盾。所以，任意15个大于1且不，超过2009的互质整数a1,a2??,a15中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。 五、（本题15分）若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数，称数对?a,b?是和谐的。
22222222222222222④ 试找出一对无理数，使得?a,b?是和谐的；
⑤ 证明：若?a,b?是和谐的，且a?b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；
7
⑥ 证明：若?a,b?是和谐的，且【解析】
① 不难验证(a,b)??2?a是有理数，则a,b都是有理数。 b??11?,?2?是和谐的。 22?② 由已知t?a2?b?a?b2??a?b??a?b?1?是有理数，a?b?s是有理数，所以
????t1t），解得a?（s?是有理数，所以b?s?a也是有理数。
a?b?12s?1a22若a?b?0，则b??是有理数，因此a?a?b2?b2也是有理数。若a?b?0，由
ba21()?()aa2?b1y2?xbb已知x?是有理数，y?也是有理数，因此?，故?2a1bbxy?1a?b()()?1bba?b???b?
xy?1是有理数，因此a?(a?b2)?b2也是有理数。 2y?x 8
新知杯初中数学竞赛模拟试题（含详解）
