新 知 杯 模 拟 试 题
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）
1. 对于任意实数a,b，定义a?b=a(a?b)?b，已知a?2.5?28.5，则实数a的值是
_________。
2. 在三角形ABC中，AB?b?1，BC?a，CA?2a，其中a,b是大于1的整数，则b?a? 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根
的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC中AC?1，BC?2，P为斜边AB上
一动点。PE?BC,PF?CA，则线段EF长的最小值为 。
2222BEPCFA6. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根，c，d是方程x?86x?1?0的两个根，则
?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?，Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长
线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。
8. 方程xyz?2009的所有整数解有 组。
??9. 如图，四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC延长线交于E，则?AEB?_________________.
ADBCEAFD
1
BCE
10. 如图，在直角梯形ABCD中，
DC?ABC??BCD?90?,AB?BC?10,点M在BC上，使得?ADM是正三角形，则?ABM与?DCM的面积和是________________。
AMB?，AD?3，二、（本题15分）如图，?ABC中，?ACB?90,点D在CA上，使得CD?1
并且?BDC?3?BAC，求BC的长。
BBCDA
CDEA
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：abcd?ab?cd，其中数字c可
以是0。
??2 2
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正
整数中，至少有一个素数，求最小的n。
五、（本题15分）若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数，称数对?a,b?是和谐的。
22① 试找出一对无理数，使得?a,b?是和谐的；
② 证明：若?a,b?是和谐的，且a?b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③ 证明：若?a,b?是和谐的，且
a是有理数，则a,b都是有理数。 b 3
新知杯模拟试题（参考答案）
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）
1. 对于任意实数a,b，定义a?b=a(a?b)?b，已知a?2.5?28.5，则实数a的值是
_________。 【答案】4或?13 222【解析】a?a?2.5??2.5?28.5，a?2.5a?26，2a?5a?52?0，
?2a?13??a?4??0，所以a?4或?13
2，BC?a，CA?2a，其中a,b是大于1的整数，2. 在三角形ABC中，AB?b?1则b?a? 。
【答案】0
【解析1】若b?a,则b2?1?(a?1)2?1?a2?2a，即AB?BC?CA.矛盾
若b?a，则b?a?1,b2?1?(a?1)2?1?a2?2a，即AB?BC?CA矛盾，
22?b?a?0
【解析2】?a,b是大于1的整数，所以a?2，此时BC?CA?a2?2a?a?a?2??0，
?BC?CA?AB?BC?CA，即a2?2a?b2?1?a2?2a，
22??a?1??b2??a?1?，即a?1?b?a，?b?a，即b?a?0
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50，94
【解析】设两边长分别为x和y，则2xy?92，xy?46?1?46?2?23，所以周长为
2??1?46??94或2??2?23??50
4. 已知关于x的方程x?2x?(3?k)x?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5
【解析】原方程可化为(x2?x?2)(x2?x?k)?0,?x2?x?2?0?x?x?k?0，
2432?k??2，?x2?x?2?0，x1??2,x2?1，即x12?x22?4?1?5
5. 如图，直角三角形ABC中AC?1，BC?2，P为斜边AB上一动点。
PE?BC,PF?CA，则线段EF长的最小值为 。
4
BEPCFA
【答案】
25 5EPBEx2?y?，所以?，y?2?2x，CABC12222【解析】设CF?x，EC?y，则
44?4?EF?x?y?x?(2?2x)?5x?8x?4?5?x???，当x?，
55?5?2222y?
2
时，EF?5
2425最小。 ?5526. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根，c，d是方程x?86x?1?0的两个根，则
?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为 。
【答案】2772
【解析】?a?b??68，ab?1，c?d?86，cd?1，??a?c??b?c??a?d??b?d?
?(ab?(a?b)c?c2)(ab?(a?b)d?d2)?1?68c?c21?68d?d2
?(86c?68c)(86d?68d)?18?154cd?2772
7. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?，Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长
线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。 【答案】
????13?k? 3232?112?021?，k2????k?
22???1?332???1?3【解析】k1?8. 方程xyz?2009的所有整数解有 组。
【答案】72
【解析】2009?287?7?1?1?1?2009?7?7?41?1?49?41
正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组
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新知杯初中数学竞赛模拟试题（含详解）
