高中数学选修2-1课时作业5：1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词

高中数学选修2-1课时作业

1.4.1 全称量词~1.4.2存在量词

1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( ) A．存在a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．存在a＜0，b＞0，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．存在a＞0，b＞0，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

[解析]选D.根据全称命题的一般形式为“所有x，有p(x)”．故全称命题是对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.

2．下列四个命题中的真命题为( )

A．?x∈R，x2－1＝0B．?x∈Z,3x－1＝0C．?x∈R，x2＋1＞0D．?x∈Z,1＜4x＜3 1

[解析]选C.若x2－1＝0，则x±1，A错误；若3x－1＝0，则x＝?Z，B错误；若1＜4x＜3，

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则＜x＜，D错误；x2＋1≥1＞0恒成立，故选C. 443．下列特称命题是假命题的是( )

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数D．有的有理数没有倒数

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x＋?2＋＞0恒成立． [解析]选B.对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝??2?4

4．(2012·高考辽宁卷)已知命题p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则﹁p是( ) A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

[解析]选C.命题p是一个全称命题，其否定为特称命题，﹁p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0，故选C.

5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a≤1C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1

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[解析]选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a

＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.

6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“?”或“?”符号表示为________． [答案]?x∈R，x2＋2x＋1≥0

7．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．

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[解析]①③是全称命题，②④是特称命题． [答案]①③ ②④

8．(2013·临汾质检)若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是__________． [解析]依题意有：0

9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“?”、“?”表示． (1)两个有理数之间，都有一个无理数； (2)有一个凸n边形，外角和等于180°；

(3)存在一个三棱锥，使得它的每个侧面都是直角三角形． 解：(1)全称命题：?两个有理数之间，都有一个无理数． (2)特称命题：?一个凸n边形，它的外角和等于180°. (3)特称命题：?一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形．

10．若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围． 解：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，

令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为?x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立， Δ＝4a2－42－a＞0??

所以Δ≤0或?a＜－1

??f－1≥0

?a<－1或a>1

???－2

?a2－1<1??－2

2??a－1>0

，即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.

综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．

能力提升

1．对下列命题的否定说法错误的是( )

A．p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；﹁p所有的三角形不都是正三角形 D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；﹁p：?x∈R，x2＋x＋2＞0

[解析]选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．

2．设命题p：对一切x∈R，都有x2＋ax＋2＜0，若﹁p为真，则实数a的取值范围是________． [解析]﹁p为真，又﹁p：?x∈R，x2＋ax＋2≥0，而函数f(x)＝x2＋ax＋2开口向上，所以a∈R. [答案]a∈R

3．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

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高中数学选修2-1课时作业 (2)r：等圆的面积相等，周长相等； (3)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．

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注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．

4(2)这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是一个假命题．

(3)这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，有sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题．

4．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)不等式m0＋f(x)＞0可化为m0＞－f(x)， 即m0＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m0＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞－4即可． 故存在实数m0使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞－4.

(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.

又f(x0)＝(x0－1)2＋4， 所以f(x0)min＝4，所以m＞4.

所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

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