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高中数学选修2-1课时作业5:1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词

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高中数学选修2-1课时作业

1.4.1 全称量词~1.4.2存在量词

1.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是( ) A.存在a,b∈R,使a2+b2+2ab=(a+b)2 B.存在a<0,b>0,使a2+b2+2ab=(a+b)2 C.存在a>0,b>0,有a2+b2+2ab=(a+b)2 D.所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2

[解析]选D.根据全称命题的一般形式为“所有x,有p(x)”.故全称命题是对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2.

2.下列四个命题中的真命题为( )

A.?x∈R,x2-1=0B.?x∈Z,3x-1=0C.?x∈R,x2+1>0D.?x∈Z,1<4x<3 1

[解析]选C.若x2-1=0,则x±1,A错误;若3x-1=0,则x=?Z,B错误;若1<4x<3,

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则<x<,D错误;x2+1≥1>0恒成立,故选C. 443.下列特称命题是假命题的是( )

A.存在x∈Q,使2x-x3=0B.存在x∈R,使x2+x+1=0 C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数

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x+?2+>0恒成立. [解析]选B.对于任意的x∈R,x2+x+1=??2?4

4.(2012·高考辽宁卷)已知命题p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则﹁p是( ) A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

[解析]选C.命题p是一个全称命题,其否定为特称命题,﹁p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故选C.

5.若存在x0∈R,使ax20+2x0+a<0,则实数a的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1C.-1<a<1 D.-1<a≤1

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[解析]选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使ax20+2x0+a<0.当a>0时,需满足Δ=4-4a

>0,得-1<a<1,故0<a<1,综上所述,实数a的取值范围是a<1.

6.命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“?”或“?”符号表示为________. [答案]?x∈R,x2+2x+1≥0

7.下列命题,是全称命题的是________;是特称命题的是________. ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.

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高中数学选修2-1课时作业

[解析]①③是全称命题,②④是特称命题. [答案]①③ ②④

8.(2013·临汾质检)若?x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是__________. [解析]依题意有:0

9.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“?”、“?”表示. (1)两个有理数之间,都有一个无理数; (2)有一个凸n边形,外角和等于180°;

(3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形. 解:(1)全称命题:?两个有理数之间,都有一个无理数. (2)特称命题:?一个凸n边形,它的外角和等于180°. (3)特称命题:?一个三棱锥,它的每个侧面都是直角三角形.

10.若命题“?x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,求实数a的取值范围. 解:x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0,

令f(x)=x2-2ax+2-a,所以全称命题转化为?x∈[-1,+∞)时,f(x)≥0恒成立, Δ=4a2-42-a>0??

所以Δ≤0或?a<-1

??f-1≥0

?a<-1或a>1

???-2

?a2-1<1??-2

2??a-1>0

,即-2≤a≤1或-3≤a<-2.所以-3≤a≤1.

综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].

能力提升

1.对下列命题的否定说法错误的是( )

A.p:能被2整除的数是偶数;﹁p:存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;﹁p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;﹁p所有的三角形不都是正三角形 D.p:?x∈R,x2+x+2≤0;﹁p:?x∈R,x2+x+2>0

[解析]选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题;所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.

2.设命题p:对一切x∈R,都有x2+ax+2<0,若﹁p为真,则实数a的取值范围是________. [解析]﹁p为真,又﹁p:?x∈R,x2+ax+2≥0,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R. [答案]a∈R

3.写出下列命题的否定,并判断其真假.

(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;

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高中数学选修2-1课时作业 (2)r:等圆的面积相等,周长相等; (3)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.

解:(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是﹁p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.

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注意到当Δ=1+4m<0时,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以﹁p是真命题.

4(2)这一命题的否定形式是﹁r:“存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知﹁r是一个假命题.

(3)这一命题的否定形式是﹁s:“存在α∈R,有sin2α+cos2α≠1”.由于命题s是真命题,所以﹁s是假命题.

4.已知函数f(x)=x2-2x+5.

(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. 解:(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x), 即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.

要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0>-4即可. 故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4.

(2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x0)min.

又f(x0)=(x0-1)2+4, 所以f(x0)min=4,所以m>4.

所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).

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高中数学选修2-1课时作业5:1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词

高中数学选修2-1课时作业1.4.1全称量词~1.4.2存在量词1.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是()A.存在a,b∈R,使a2+b2+2ab=(a+b)2B.存在a<0,b>0,使a2+b2+2ab=(a+b)2C.存在a>0,b>0,有a2+b2+2ab=(a+b)2D.所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2
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