3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【选题明细表】 知识点、方法 常用函数的导数 导数的计算 导数的几何意义 综合问题 【基础巩固】
1.下列结论
题号 1,3,8 2,7 4,5,10 6,9,11,12,13 ①(sin x)′=-cos x;②()′=;③(log3x)′=;④(ln x)′=.
其中正确的有( B )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:在①中(sin x)′=cos x,在②中()′=-2
,在③中(log3x)′=,④正确.故选B.
2.已知f(x)=x,则f′(3)等于( C ) (A)0 (B)2x (C)6 (D)9
2
解析:因为f(x)=x,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6. 故选C.
2
3.函数y=xsin x的导数为( A )
2
(A)y′=2xsin x+xcos x
2
(B)y′=2xsin x-xcos x
2
(C)y′=xsin x+2xcos x
2
(D)y′=xsin x-2xcos x
2
解析:因为y=xsin x,
222
所以y′=(x)′sin x+x(sin x)′=2xsin x+xcos x. 故选A.
3
4.已知f(x)=x的切线的斜率等于1,则其切线方程有( B ) (A)1个 (B)2个
(C)多于两个 (D)不能确定
2
解析:因为f′(x)=3x,
所以令3x=1,得x=±
2
.
所以可得切点坐标为(,)和(-,-).
1
所以f(x)=x有两条斜率为1的切线.故有两个切线方程.故选B.
3
5.(2018·大理高二检测)曲线y=在点(,)处切线的倾斜角为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由于y=,所以y′=,于是y′=1,
所以曲线在点(,)处的切线的斜率等于1,倾斜角为.故选B.
6.(2018·葫芦岛高二检测)曲线y=e在(2,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )
x
2
(A)e (B)2e (C)e 解析:y′=e,所以y′
2
x
2
222
(D)
x=22
=e,
所以切线方程为y-e=e(x-2),
22
即y=ex-e.
2
当x=0时,y=-e;当y=0时,x=1.
所以S三角形=×1×|-e|=.故选D.
2
7.(2018·大连高二双基检测)已知f(x)=x+3xf′(0),则f′(1)= . 解析:由于f′(0)是一常数,
2
所以f′(x)=x+3f′(0), 令x=0,则f′(0)=0,
2
所以f′(1)=1+3f′(0)=1. 答案:1
8.求下列函数的导数: (1)y=-ln x;
2
(2)y=(x+1)(x-1);
3
(3)y=;
(4)y=.
2
解:(1)y′=(
2
-ln x)′=(
3
)′-(ln x)′=
2
-.
(2)y′=[(x+1)(x-1)]′=(x-x+x-1)′ 32
=(x)′-(x)′+x′-1′ 2
=3x-2x+1.
(3)y′==.
(4)y′==.
【能力提升】
9.(2018·昆明高二质检)设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,
n
(x)=f′
(x),n∈N,则f2 018(x)等于( B )
(A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x 解析:因为f0(x)=sin x,
所以f1(x)=f′0(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=f′1(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=f′2(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=f′3(x)=(-cos x)′=sin x,
所以4为最小正周期,所以f2 018(x)=f2(x)=-sin x. 故选B.
322
10.(2018·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x-3x+2x和y=x+a都相切,则a的值是( C )
(A)1 (B) (C)1或 (D)1或-
解析:因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时, 因为k=f′(0)=2,所以l方程为y=2x,
22
又l与y=x+a相切,所以x+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时, 设切点为(x0,-3+2x0),则k=3-6x0+2,
所以=3-6x0+2,得x0=,
所以k=-,所以l:y=-x.由
得x+x+a=0,由题意得Δ=
2
-4a=0,所以a=.综上得a=1或a=.故选C.
11.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为 .
3
解析:f′(x)+g′(x)=-sin x+1≤0,所以sin x≥1,
又sin x≤1,所以sin x=1,所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:{xx=+2kπ,k∈Z}
12.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)解:f′(x)=a+.
因为点(2,f(2))在切线7x-4y-12=0上,
所以f(2)==.
又曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0,
所以??
所以f(x)的解析式为f(x)=x-.
(2)证明:设(x0,x0-)为曲线y=f(x)上任意一点,
则切线斜率k=1+,切线方程为
y-(x0-)=(1+)(x-x0),
令x=0,得y=-.
4
由得
所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积
S=|2x0|-=6,为定值.
【探究创新】
2
13.(2018·武夷山高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值. 解:设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l, 如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x-12x+16=0,x1+x2=12, x1x2=16, 所以|AB|=
|x1-x2|
2
=·=·=10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物 线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的 切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知kAB=.
所以kl==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
5
2020最新高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算课时作业 新人教A版必备1-1
