压轴题(八)
12．(2024·湘赣十四校联考二)已知函数f(x＋2)为R上的偶函数，且当x≥2时函数f(x)ee3
满足xf′(x)＋3xf(x)＝，f(3)＝，则81f(x) x81 3 2 x3 A．(1,3) C．(1,2)∪(3，＋∞) 答案 A B．(－∞，1)∪(2,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) ee32 解析 设h(x)＝xf(x)，则h′(x)＝xf′(x)＋3xf(x)＝，∴xf′(x)＝－3xf(x)， 3 3 2 xxxxe3f化简得f′(x)＝4－ xxxxe－3hx＝， 4 xx3ee 设g(x)＝e－3h(x)，∴g′(x)＝e－＝ xxxxxx－3 ， x∴x∈[2,3)时，g′(x)＜0，因此g(x)为减函数， ∴x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，因此g(x)为增函数， ∴g(x)≥g(3)＝e－3h(3)＝e－3f(3)＝0， ∴f′(x)≥0，∴f(x)在[2，＋∞)上为增函数． ∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴函数关于x＝2对称，又∵81f(x)＜e，即f(x)＜f(3)，又f(x)在[2，＋∞)上为增函数，∴2≤x＜3，由函数关于x＝2对称可得1＜x＜3，故选A. 16．(2024·沈阳第三次质量监测)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2(n＋1)(n∈N)，则a2024－a2024＝________， 答案 2 199 303 * * 3 3 3 4 1 a1a3a2a4a3a5a98a100a99a101 ＋1 ＋ 1 ＋1 ＋1 ＝________. 解析 ∵an＋an＋1＝2(n＋1)(n∈N)，∴当n≥2时，an－1＋an＝2n， ∴an＋1－an－1＝2，∴a2024－a2024＝2，数列{an}的奇数项和偶数项分别是公差为2的等差数列，又a1＝1， ∴a2＝3，∴ 1 a1a3a2a4a3a5 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋1 a98a100 ＋ 11?1?1111 ＝2××?－＋－＋…＋－?＋ 99101?a99a1012?35571 1111199 ＝－＋＝. 1×331013303 20．设函数f(x)＝ln x－2mx－n(m，n∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有最大值－ln 2，求m＋n的最小值． 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 2 11－4mxf′(x)＝－4mx＝， 2 xx当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当m>0时，令f′(x)>0得0 mmm?? ，令f′(x)<0得x>，∴f(x)在?0，?上单调递2m2m?2m? ?m? ，＋∞?上单调递减． ?2m? ? ? m? ?上单调递增， 2m? (2)由(1)知，当m>0时，f(x)在?0，在? ?m? ，＋∞?上单调递减． ?2m? m111?m? ?＝ln 2m－2m·4m－n＝－ln 2－2ln m－2－n＝－ln 2， ?2m? ∴f(x)max＝f? 1111 ∴n＝－ln m－，∴m＋n＝m－ln m－， 222211 令h(x)＝x－ln x－(x>0)， 2212x－1 则h′(x)＝1－＝， 2x2x?1??1??1?1 ∴h(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增，∴h(x)min＝h??＝ln 2， ?2??2??2?2 1 ∴m＋n的最小值为ln 2. 2 21．已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为42. (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA， NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值． 解 (1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，42为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝22，得b＝2. 故动点M的轨迹C的方程为＋＝1. 84 (2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)， x2y2 xy??＋＝1，由?84??y＋2＝kx＋1 2 2 22 得(1＋2k)x＋4k(k－2)x＋2k－8k＝0. 2 Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0， 4 则k>0或k<－. 7 4k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－从而k1＋k2＝ 2 k－22k－8k，x1x2＝22. 1＋2k1＋2ky1－2y2－22kx1x2＋k－4 ＋＝x1x2x1x2 x1＋x2 4kk－2 ＝2k－(k－4)·＝4. 22k－8k当直线l的斜率不存在时， 得A?－1， ??14??14??，B?－1，－?， 2??2? 所以k1＋k2＝4. 综上，恒有k1＋k2＝4.
2024届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型压轴题（八）文
