∵将△ABC沿直线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点D处 ∴DF=BF
在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2， ∴（6-CF）2=9+CF2， ∴CF=4． （2）①
3√13
②3√13 29
①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．
在Rt△ACB中，AC=4，BC=6， ∴AB=√42+62=2√13， ∵DG∥BC， ∴????=????， ∴4=1
2√13???， 2√133√132????
????
∴x=
．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，
∵CD=3AD， ∴S△GDC=3S△QAD，
∴当S△ADB=2S△ADG时，S△GDC=S△GBD， ∴AB=2AG，
∴AG=√13， ∴GB=3√13， 故答案为：3√13． （3）9
如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．
1
∵四边形MNPQ是正方形， ∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA， ∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD， ∵△PDN∽△BCD， ∴????=????， ∴6=
????
????3????
????
，
∴PD=2DN， ∴CN=2DN，
∴DN=1，CN=2，
∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2， ∴BK=9，
∴tan∠QBC=????=9．
【 解析 】
（1）如图1中，连接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
（2）①如图2-1中，当DG∥BC时，S△DGC=S△DGB．设BG=x．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
②如图2-2中，当点G在BA的延长线上时，证明AB=2AG时，满足条件．
（3）如图3中，当PD∥BC时，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
????
1
【 第 25 题 】 【 答 案 】
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-√3过点A（-3，2√3）和点B（2，√3） ∴{
9???3???√3=2√3
解得：{
4??+2???√3=√3??=
??=
2√3
5 √3
∴抛物线的函数表达式为：y=
2√32
x+55
5√3
x-√3
（2）当x=0时，y=ax2+bx-√3=-√3 ∴C（0，-√3）
设直线AC解析式为：y=kx+c ?3??+??=2√3??=?√3
解得：{
0+??=?√3??=?√3∴直线AC解析式为y=-√3x-√3 ∴{
当y=0时，-√3x-√3=0，解得：x=-1
∴D（-1，0）
（3）如图1，连接AB ∵A（-3，2√3），B（2，√3）
∴OA2=32+（2√3）2=21，OB2=22+（√3）2=7，AB2=（2+3）2+（√3?2√3）2=28 ∴OA2+OB2=AB2 ∴∠AOB=90° 故答案为：90°．
（4）过点M作MH⊥AB于点H，则MH的长为点M到AB的距离．
①如图2，当点M与点C′重合且在y轴右侧时，∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD）
∴OM=OC=√3，OD'=OD=1，∠MOD'=∠COD=90° ∴MD'=√3+1=2，∠MD'O=60°，∠OMD'=30° ∵∠MOD'=∠AOB=90°
∴∠MOD'+∠BOM=∠AOB+∠BOM 即∠BOD'=∠AOM ∵OA=√21，OB=√7 ∴????=
????
√7√21=
1√=3????′????
????′
1∴△BOD'∽△AOM
∴∠BD'O=∠AMO=60°，????=
√3 ∴∠AMD'=∠AMO+∠OMD'=60°+30°=90°，即AM⊥BD' 设BD'=t（t＞0），则AM=√3t，BM=BD'-MD'=t-2 ∵在Rt△AMB中，AM2+BM2=AB2 ∴（√3t）2+（t-2）2=28 解得：t1=-2（舍去），t2=3 ∴AM=3√3，BM=1 ∵S△AMB=2AM?BM=2AB?MH ∴MH=
?????????????1
13√3×12√73√21
14
==
②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时，
∴∠MOD'-∠AOD'=∠AOB-∠AOD'即∠AOM=∠BOD'
∴同理可证：△AOM∽△BOD'
∴∠AMO=∠BD'O=180°-∠MD'O=120°，
????′????
=
1√3 ∴∠AMD'=∠AMO-∠OMD'=120°-30°=90°，即AM⊥BD' 设BD'=t（t＞0），则AM=√3t，BM=BD'+MD'=t+2 ∵在Rt△AMB中，AM2+BM2=AB2 ∴（√3t）2+（t+2）2=28 解得：t1=2，t2=-3（舍去） ∴AM=2√3，BM=4 ∵S△AMB=2AM?BM=2AB?MH
1
1
∴MH=
????.????????
=
2√3×12√7=
4√21 7
3√214√21或7． 14
综上所述，点M到AB的距离为
（1）用待定系数法即求出抛物线的函数表达式．
（2）由于点D是连接AC交x轴而得，故先用待定系数法求直线AC解析式，令y=0即求得D的横坐标．
（3）用两点间距离公式求OA2、OB2、AB2，得到OA2+OB2=AB2，所以∠AOB=90°．
（4）画出图形，发现点M与点C′重合的位置在y轴左右两侧各有一个，故需分类讨论．①当重合点在y轴右侧时，由△AOB与旋转得到的△MOD'是含30°角的特殊直角三角形，联想到旋转过程中会有新出现的相似三角形，易证得△BOD'∽△AOM，所以对应角∠BD'O=∠AMO=60°，进而证得∠AMD'=90°即AD'⊥BM；由对应边????=
????′
1√3，可设BD'=t，用t表示AM、BM，在Rt△AMB
中利用勾股定理列方程求解t，即得到△AMB三边的长；最后利用三角形面积公式即求得M到AB的距离．②当重合点在y轴左侧时，解题思路与①相同，只有用t表示BM出现不同，求得的t不同． 【 解析 】
本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，勾股定理逆定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等积法求点到直线的距离．前3小题是较简单的基础题型，第4小题需画出大致准确的图形结合图形思考，发现旋转过程中隐含的不变量而得到全等或相似三角形．
2024年辽宁省沈阳市铁西区中考数学二模试卷(包含答案解析)
