§复合函数的求导法则
基本初等函数的导数公式表
导数的运算法则
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y?f(u)和u?g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y?f(u)和u?g(x)的复合函数，记作
y?f?g(x)?。 复合函数的导数
复合函数y?f?g(x)?的导数和函数y?f(u)和u?g(x)的导数间的关系为
yx??yu??ux?，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
??f??g(x)??g?(x) fg(x)?若y?f?g(x)?，则y???????例1求y ＝sin（tan x2）的导数． 【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝
x?ax?2ax2的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－
131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 4441sin22 x 2【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos
x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2
x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
1令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．
3114于是切点为P（1，2），Q（－，－），
327过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
114|???1|显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为327＝
2162． 27练1求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x； （2）y?sin2x； (3)loga(x2?2) 2x?1练2求ln(2x2?3x?1)的导数
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