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2.4.1 抛物线的标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 知识点一 抛物线的定义
思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
思考2 平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？ 思考3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)距离________的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．
知识点二 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？
梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y＝2px(p>0)，y＝－2px(p>0)，x＝2py(p>0)，x＝－2py(p>0)．
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形 类型一 抛物线的定义及理解 例1 (1)动点M的坐标满足方程5x＋y＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 C．抛物线
B．双曲线 D．以上都不对
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标准方程 焦点坐标 (，0) 2(－，0) 2(0，) 2(0，－) 2准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) ppx＝－ 2ppx＝ 2ppy＝－ 2ppy＝ 2(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x＋y＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________．(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答) 反思与感悟 抛物线的判断方法
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(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
类型二 抛物线标准方程及求解
命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2 抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )
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A. B. C．1 D.3 22
反思与感悟 根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
跟踪训练2 (1)若抛物线y＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为________．
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y＝40x；②4x＝y；③3y＝5x；④6y＋11x＝0. 命题角度2 求解抛物线的标准方程
例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x－9y＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 反思与感悟 抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 类型三 抛物线在实际生活中的应用
例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标
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2024版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_1抛物线的标准方程学案新人教B版选修2_1
