19,20,21,23题题组训练(六)
(时间：45分钟 分值：39分 得分：__________分)
k1
19．(9分)如图，网格中的交点称为格点．双曲线y＝与直线y＝k2x在第二象限交于点
xA(－1,2)．
(1)①填空：k1＝________，k2＝________；②在网格中画出直线y＝k2x，并求出直线与双曲线的另一个交点B的坐标；
(2)在图中仅用直尺、2B铅笔画出两个直角三角形(不写画法)，要求每个直角三角形均满足下列两个条件：①三个顶点均在格点上，且其中两个格点分别是点A、点B；
②直角三角形的面积等于2|k1|的值．
20．(9分)如图①，浮式起重机是海上打捞、救援的重要设备，某数学研究小组需要计算如图②所示的浮式起重机悬索AC的长，他们测量了以下数据：∠A＝30°，∠ABC＝105°，AB＝60 m，请你帮助他们求出悬索AC的长．(结果保留整数．参考数据：3≈1.73， sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73)
图① 图②
21．(10分)某学校初二年级在元旦汇演中需要外出租用同一种服装若干件，已知在没有任何优惠的情况下，在甲服装店租用2件和在乙服装店租用3件共需280元，在甲服装店租用4件和在乙服装店租用1件共需260元．
(1)求甲、乙两个服装店每件服装的租金分别是多少？
(2)若该种服装提前一周订货，则甲、乙两个服装店都可以给予优惠，具体办法如下：甲服装店按原价的八折进行优惠；乙服装店如果租用5件以上，超出5件的部分可按原价的六折进行优惠．设需要租用x件服装，选择甲店则需要y1元，选择乙店则需要y2元，请分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
(3)若租用的服装在5件以上，在哪个店租用比较合算？
23．(11分)(2019洛阳二模)如图，抛物线y＝ax2＋5x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－4经过点B，C．P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标； 1
(3)当∠PBA＝∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．
2
参考答案
19．解：(1)①－2，－2；
②∵点A、点B关于原点对称，∴点B的坐标为(1，－2)，直线y＝k2x的函数图象如图所示．
(2)如图所示，△ABC，△ABD即为所求作的直角三角形． 20．解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.
设CD＝x.
在Rt△ACD中，∠A＝30°， ∴AD＝3x，AC＝2x. ∴BD＝AD－AB＝3x－60. ∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝75°. 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝∴
CD
， BD
x
≈3.73.解得x≈41. 3x－60
∴AC＝2x≈82.
答：悬索AC的长约为82 m.
21．解：(1)设甲服装店每件服装的租金为a元，乙服装店每件服装的租金为b元．
???2a＋3b＝280，?a＝50，
由题可得?解得?
?4a＋b＝260，???b＝60.
答：甲、乙两个服装店每件服装的租金分别是50元、60元． (2)根据题意，得y1＝50×0.8x＝40x. 当0≤x≤5时，y2＝60x；
当x＞5时，y2＝5×60＋0.6×60(x－5)＝36x＋120.
??60x?0≤x≤5?，
即y2＝?
?36x＋120?x>5?.?
(3)当租用的服装在5件以上时，y2＝36x＋120.
当y1
∴当租用的服装在5件以上且不足30件时，在甲店租用比较合算；当租用的服装为30件时，在甲、乙两店一样合算；当租用的服装超过30件时，在乙店租用比较合算．
23．解：(1)当x＝0时，y＝x－4＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)． 当y＝0时，x－4＝0，解得x＝4，∴点B的坐标为(4,0)． 将B(4,0)，C(0，－4)代入y＝ax2＋5x＋c，
???16a＋20＋c＝0，?a＝－1，得?解得? ?c＝－4，???c＝－4.
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x－4.
(2)∵P是直线BC上方抛物线上一点，∴0＜xp＜4. 1
∵△PBD和△BDC有相同的底边BD，S△PBD＝S△BDC，
21
∴|yP|＝－yC＝2.
2
当y＝－2时，即－x2＋5x－4＝－2， 5－175＋17
解得x1＝，x2＝(舍去)．
22∴点P的坐标为?
?5－17?
，－2?.
?2?
当y＝2时，即－x2＋5x－4＝2，解得x3＝2，x4＝3. ∴点P的坐标为(2,2)或(3,2)． 综上所述，点P的坐标为?
?5－17?
，－2?或(2,2)或(3,2)．
?2?
(3)直线BP的解析式为y＝－x＋4或y＝(2－3)x＋43－8. 【提示】设直线BP的解析式为y＝mx＋n(m≠0)． 延长BP交y轴于点E，分两种情况： ①当点P在x轴上方时，如图①.
1
∵∠PBA＝∠CBP，∴∠EBO＝∠CBO.∴OE＝OC.
2∴点E的坐标为(0,4)．
将B(4,0)，E(0,4)代入y＝mx＋n，
???4m＋n＝0，?m＝－1，得?解得? ?n＝4，???n＝4.
∴直线BP的解析式为y＝－x＋4.
图① 图②
②当点P在x轴下方时，过点E作EM⊥BC于点M，如图②. ∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝42. 1
∵∠PBA＝∠CBP，
2
2
∴∠CBP＝∠OBC＝30°，即∠CBE＝30°.
3设OE＝t，则BE＝OE?OB＝t?16.
222
3t2?48在Rt△BEM中，BM＝BE·cos 30°＝，
2t2?16EM＝BE·sin 30°＝.
2t?16EM
在Rt△CEM中，CM＝＝.
tan 45°23t2?48t2?16又BM＋CM＝BC，∴＋＝42.
22整理，得t2＝112－643.解得t＝8－43(负值舍去)． ∴点E的坐标为(0,43－8)．
将B(4,0)，E(0,43－8)代入y＝mx＋n，
2?m＝2－3，?4m＋n＝0，
得?解得? ?n＝43－8，?n＝43－8.
∴直线BP的解析式为y＝(2－3)x＋43－8.
综上所述，直线BP的解析式为y＝－x＋4或y＝(2－3)x＋43－8.
备战2020年中考数学题组训练：19,20,21,22(23)题题组训练6 含答案
