最新适应性考试
理科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A?{xx2?4x?3?0}，B?{x2x?1}，则AIB?（ ）
A．[?3,?1] B．(??,?3]U[?1,0) C．(??,?3)U(?1,0] D．(??,0) 【答案】B
【解析】A?(??,?3]U[?1,??)，B?(??,0)， ∴AIB?(??,?3]U[?1,0)．
a?i7?（ ） 2．若z?(a?2)?ai为纯虚数，其中a?R，则
1?aiA．i B．1 C．?i D．?1
【答案】C
【解析】∵z为纯虚数，∴a?2，
a?i72?i(2?i)(1?2i)?3i∴?????i． 1?ai1?2i(1?2i)(1?2i)333．设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn?(an?1)(n?N*)，则an?（ ）
2nnnA．3(3?2) B．3?2 C．3n D．3?2n?1
【答案】C
3?a?S?(a1?1)1??a1?3?12【解析】?，?，
?a?a?3(a?1)?a2?9122??2经代入选项检验，只有C符合．
4．执行如图的程序框图，如果输入的N?100，
则输出的x?（ ）
A．0.95 B．0.98 C．0.99 D．1.00 【答案】C 【解析】x?开始输入Nn=1,x=0n=n+1n ?6?2x)?cos2x的振幅和最小正周期分别是（ ） C．2,?2 B．3,? ?2 D．2,? 【解析】f(x)?sin?6cos2x?cos?6sin2x?cos2x ?3331cos2x?sin2x?3(cos2x?sin2x) 22226．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．12 B．6 C．4 D．2 2【答案】D 【解析】V正四棱锥=?2??(2+1)?2?2． 7．设p、q是两个命题，若?(p?q)是真命题， 那么（ ） A．p是真命题且q是假命题 B．p是真命题且q是真命题 C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题 ?3cos(2x?)，故选B． 6?131221112【答案】D 8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A． 【答案】A 【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率P?1346 B． C． D． 777731?． C7279．已知平面向量a、b满足|a|?|b|?1，a?(a?2b)，则|a?b|?（ ） A．0 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】∵a?(a?2b)，∴a?(a?2b)?0， ∴a?b?121a?， 22∴|a?b|?(a?b)2?a2?2a?b?b2 1?12?2??12?3． 21610．(x2?)的展开式中，常数项是（ ） 2x551515A．? B． C．? D． 441616【答案】D r【解析】Tr?1?C6(x2)6?r(?1r1r12?3r， )?(?)rC6x2x2令12?3r?0，解得r?4． ∴常数项为(?)4C4?61215． 162y2?1长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆x?2心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ） 22222222A．x?y?1 B．y?x?1 C．x?y?2 D．y?x?2 【答案】D 【解析】∵椭圆的端点为(0,?2)，离心率为依题意双曲线的实半轴a?2，∴双曲线的离心率为2， 22，∴c?2，b?2，故选D． 12．如果定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x1?x2，都有x1f(x1)?x2f(x2) ?x1f(x2)?x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y??x3?x?1；② ?ln|x|x?0，其中“H函数”的个数是（ ） y?3x?2(sinx?cosx)；③y?ex?1；④y??x?0?0A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】∵x1f(x1)?x2f(x2)?x1f(x2)?x2f(x1)， ∴(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，∴f(x)在R上单调递增． ①y???3x?1， x?(??,23)，y??0，不符合条件； 3②y??3?2(cosx+sinx)=3?22sin(x?③y??e?0，符合条件； x?4)?0，符合条件； ④f?x?在(??,0)单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H函数”是②③． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． ?2x?y?2?13．已知实数x，y满足约束条件?x?y??1，若目标函数z?2x?ay仅在点(3,4)取得最小值，则a?x?y?1?的取值范围是 ． 【答案】(??,?2) 【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为A(1,0),B(0,1),C(3,4), ∴zA?2，zB?a，zC?6?4a． ?6?4a?2∴?，解得a??2． 6?4a?a?x216y214．已知双曲线?2?1的左焦点在抛物线y2?2px的准线上，则p? ． 3p【答案】4 p2p?()2，∴p?4． 【解析】3?162215．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n?N*，均有an、Sn、an成等差数列， 则an? ． 【答案】n 22【解析】∵an，Sn，an成等差数列，∴2Sn?an?an 2当n?1时，2a1?2S1?a1?a1 又a1?0 ∴a1?1 22当n?2时，2an?2(Sn?Sn?1)?an?an?an?1?an?1， 22∴(an?an?1)?(an?an?1)?0， ∴(an?an?1)(an?an?1)?(an?an?1)?0， 又an?an?1?0，∴an?an?1?1， ∴{an}是等差数列，其公差为1， *∵a1?1，∴an?n(n?N)． 16．已知函数f(x)的定义域R，直线x?1和x?2是曲线y?f(x)的对称轴，且f(0)?1，则f(4)?f(10)? ． 【答案】2 【解析】直线x?1和x?2是曲线y?f(x)的对称轴， ∴f(2?x)?f(x)，f(4?x)?f(x)， ∴f(2?x)?f(4?x)，∴y?f(x)的周期T?2． ∴f(4)?f(10)?f(0)?f(0)?2． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知顶点在单位圆上的?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 2acosA?ccosB?bcosC． （1）cosA的值； （2）若b2?c2?4，求?ABC的面积． 【解析】（1）∵2acosA?ccosB?bcosC， ∴2sinA?cosA?sinCcosB?sinBcosC， ∴2sinA?cosA?sin(B?C)， ∵A?B?C??，∴sin(B?C)?sinA， ∴2sinA?cosA?sinA． ∵0?A??，∴sinA?0， 1． 231（2）由cosA?，得sinA?， 22a由?2，得a?2sinA?3． sinA∴2cosA?1，∴cosA?∵a2?b2?c2?2bccosA， ∴bc?b2?c2?a2?4?3?1， ∴S?ABC? 18．（本小题满分12分） 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元） 3 3．5 4 5 5．5 6．5 7 7．5 8 50 （1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； （2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为?，求?的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.5万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 1133bcsinA???． 2224?x?a??b?中系数计算公式分别为： 附：线性回归方程y$? b?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n?x，其中x、y为样本均值． ??y?b，a2【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人； ?取值为0，1，2． 1122C4C6C6C4281 P(??0)?2?，P(??1)?，， ?P(??2)??2215C1015C10C103∴?的分布列为 ? 0 1 2 128 P 315152816∴E(?)?0??1??2??． 151535（3）设xi,yi(i?1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则x?2.5,y?5， ?(x?x)ii?14ii?1n2?2.25?0.25?0.25?2.25?5， i?(x?x)(y?y)??1.5?(?2)?(?0.5)?(?0.8)?0.5?0.6?1.5?2.2?7， $?b?(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)ii?1n?27?x?5?1.4?2.5?1.5， ??y?b?1.4，a5由线性回归方程为y?1.4x?1.5．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元． 19．（本小题满分12分） 如图，在直二面角E?AB?C中，四边形ABEF是矩形，AB?2，AF?23，?ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF?3． FE
2020-2021学年高三数学(理科)全国卷高考适应性考试及单解析
