图3 浮标垂直海平面的受力分析图
由图可知除浮力FbuoyantA外，风力Fwind和钢管拉力FB都会产生非零力矩，且方
0向相同，导致力矩和不为零，从而会产生旋转，不会达到平衡状态，我们认为在平衡状态下，浮标底面相对海平面存在一个倾斜角度?A。
吃水深度为浮标底部到海面的距离。由于浮标倾斜，导致浮标各点侵入海水的长度不同，如图4所示。假设浮标两边侵入水中的长度分别为h1,h2，其中h1?h2，则吃水深度即两边浸水长度的平均值
h1?h2。 2
图4 倾斜浮标的浸水示意图
问题1模型的建立
根据对问题的分析发现，问题旨在讨论在不同情形达到平衡状态下，分析各
钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的方程，通过已知的信息，求得系统各部分所受拉力大小及其角度情况和各部分本身的倾斜角度。 浮标的力平衡方程
通过浮标的受力分析可得，浮标受到竖直向上的浮力FbuoyantA，水平向右的风力Fwind，重力GA以及钢管对其的拉力FB，其受力分析图如图5所示：
0
图5 浮标的受力分析图
根据平面力系平衡原理，可得浮标的力平衡方程如下：
在水平方向上，有
FB0cos?B0?Fwind, （1）
其中，?B为钢管对浮标拉力与水平方向的夹角，Fwind为水平风力的大小，有
0如下的近似公式（S为物体在风法平面的投影面积）
Fwind?0.625?S(vwind)2; （2）
在竖直方向上，有
FB0sin?B0?mAg?FbuoyantA, （3）
其中，有
FbuoyantA??gVoverflowA, （4）
而
11VoverflowA??rA2h1??rA2(h2?h1)??rA2(h1?h2), （5）
22在这儿，mA为浮标质量，h1,h2分别表示浮标两边的浸水长度(见图4)，rA为浮标的底面半径，VoverflowA 为浮标的排水体积，?为海水密度，g为重力加速度。 浮标在风向法平面的投影面积公式
在计算风力Fwind时，需用到浮标在风向法平面的投影面积S，由于浮标倾斜，该投影区域并非一标准的矩形，而是由两个部分构成，其中的下方部分为矩形，而上方部分为倾斜圆在水平面上投影的一半，即半椭圆的一半，最终得到浮标在风向法平面的投影面积如图6所示。
图6 浮标在风向法平面的投影面积示意图
通过平面几何关系可得，第一部分矩形的面积S1满足：
S1=2rA[LA?0.5(h1?h2)]?2rA, （6）
(h21?h2)?(2r2A)
第二部分半椭圆的面积S2满足：
S(h2?h1)rA2??4,
其中，rA为浮标的底面半径，h1,h2分别表示浮标两边的浸水长度，标的长度。
钢管的平衡方程
通过分析可得，每节钢管的受力分析图如图7所示。
图7 第i节钢管的受力分析图
（7）
LA表示浮根据平面力系平衡原理及力的平移定理(力矩平衡公式)，有如下方程： 水平方向力平衡方程
FBicos?Bi?FBi?1cos?Bi?1(i?1,2,3,4), （8）
竖直方向力平衡方程
FBisin?Bi?mBg?FBi?1sin?Bi?1?FbuoyantB(i?1,2,3,4), （9）
力矩平衡方程
11FBi?sin(?Bi??Bi)LB?FBi?1?sin(?Bi?1??Bi)LB(i?1,2,3,4). （10）
22在这儿，FbuoyantB为每节钢管所受浮力大小，满足
FbuoyantB??g?rB2LB, （11）
而FB为第i节钢管下端所受拉力大小，mB为每节钢管的质量，g为重力加速
i度，?B是第i节钢管与水平方向的夹角（钢管的倾斜角度），?B是拉力FB与水平
iii方向的夹角，rB为钢管的底面半径，LB为钢管的长度。 钢桶系统的平衡方程
钢桶的受力分析如图8所示。
全国大学生数学建模大赛国家一等奖优秀论文系泊系统的设计
