数学分析陈纪修答案
【篇一:陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】
class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟
此次听陈教授的课,收益颇多。陈教授的这些讲座,不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点,更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。 第一讲、微积分思想产生与发展的历史
法国著名的数学家h.庞加莱说过:“如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么,如果你要学好并用好《数学分析》,那么,掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中,我不仅讲授《数学分析》,也讲授《数学史》,所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法,这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中,陈教授脉络清晰,分析精当,这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头,但仅满足于史料的堆砌,没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析,这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的(以疑激趣、以奇激趣),而且有利于提高学生的民族自豪感(陈教授也提到了这一点)。
第二讲、实数系的基本定理
在这一讲中,陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开,对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题,带我们走进了“无穷的世界”。
光来看无限,只能是‘只在此山中,云深不知处’”。当然,我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议,能指点一下,则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系,包括q与R的对等关系,或者说他们之间双射的构造。关键
在于“求同存异”,找一个可数集来“填补”他们之间的差距,这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。
从可数集到不可数集,再加上无最大基数定理,让我们看到了“无穷的层次性”,由此我们不难理解“人外有人,天外有天,无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾,羡长江之无穷”的感慨。
陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了,几何直观的描述形象直观。
第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美,而是缺少发现美的眼睛”。我想说:“数学中并不缺少美,缺少的是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师,他不仅发现了数学的美,而且为我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式:e?i?1?0,实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一,获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数(0,1,i,e,?)之间的绝妙的有趣的联系,被认为是数学奇异美的典例。
在本讲中,陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲,让我们体会了数学中的美,这个不等式还有许多有意思的地方,无论是不等式的形式,还是他的证明,都非常深刻地体现了数学的美。pi是无理数的证明,吸引了与会学员的眼球,赞叹之余,有学员问这一证法的出处,我也还真想知道,请陈教授不吝指教。
本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式,并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和,对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法,而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形,欧拉至少用两种方法得到结果,其中一种方法妙用了l’hospital法则(《数学译林》09.3)。
第四讲 级数与反常积分收敛的a.d判别法
恰逢这个学期讲《数学分析》(3),在讲授含参变量反常积分时,先复习了反常积分,再复习了函数项级数,并将几个判别法列表比较,尤其是a.d判别法,能与陈教授不谋而合,真是倍感荣幸。
陈教授对abel引理的直观刻画,也是深得学员好评。我对陈教授从abel引理分析?anbn收敛条件的分析而得到dilichlet判别法和abel判别法的相关条件深感佩服,尤其是分析得丝丝入扣。 第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛
一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的
剖析是非常到位的,学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“?x”的位置不相同,而不明其所以时,这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当,语言使用精辟,问题分析精准。
请注意陈教授的这句话:“毛病出在点态收敛的情况下,在某些点附近,n无法控制”(类似的话在第九讲中说过)。
第六讲 weierstrass函数:处处连续处处不可导的函数
陈教授分析了为何在weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。原来在此之前,数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。
weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数: ?ansin(bnx) 0a1b, ab1
陈教授选用1930年van der waerden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当,本人很是受益。
第七讲 条件极值问题与lagrange乘数法
本讲陈教授从一个几何问题入手,得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件,引入lagrange乘数法,化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中,本人认为几何解释最有启发性。 对于具体使用lagrange乘数法的例子中,如何解方程组,陈教授给了很好的建议。第二个例子,即求平面x+y+z=0与椭球面
x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢,只可惜不能用来做期末考题(不要问我为什么!)。 第八讲 重积分的变量代换
本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手,对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想(在教学中注重渗透数学思想方法,如此妙哉!)再作分析,然后得出代换公式。
为证明代换公式,陈教授引入本原映射,化“矩形”为“梯形”,化变换t为两个本原变换的复合,实现了化复杂为简单,化困难为容易。 第九讲 《数学分析》课程中的否定命题
《数学分析》教学中,说说“反话”很重要!(请不要误解!)
两个命题a与b如果既不能同时成立,也不能同时不成立,就称a与b互为否定命题。 若a与b互为否定命题,则a与b一定满足:一个成立,另一个必然不成立;一个不成立,另一个必定成立。(废话!)
有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、(注意前边两对的区别!)、可导与不可导、cauchy收敛准则及其否定命题,等等。这些“反话”不说,大量的题做不了。
我在讲《数学分析》(1)时会有一讲(几个概念的否定叙述)就是来讲否定命题的。
陈教授在这部分的例子非常好,分析得也清楚! 陈教授的九讲,给了我们太多的启示:
一、在我们的教学中,不仅要教其所以然,而且要教其所以然。陈教授的这九讲,应该是我们讲授
《数学分析》的经典案例,当然,我们不一定是讲这一些内容!正确的思想从哪里来,是从天上掉下来的吗?不是!
二、在我们的教学,不仅要传授知识,而且要传授思想方法,也就是教学中要注
重思想方法的渗透。
三、在我们的教学中,不仅要传授知识,而且要培养学生的数学素养,让他们了解数学的过去、现 在,以便开创数学的将来。
四、在我们的教学中,或许会遇的许多困难:教学时数少,教学对象差等等,但我们应从我们自身
积极的寻找对策。陈教授就是这样的。
以上所述,仅凭个人听课记录,又仅凭个人理解。若是有误,请陈教授见谅并斧正。
最后,向陈纪修教授致以崇高的敬意! 滇源后学:周兴伟
【篇二:陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】
class=txt>云南分中心 ? 昆明学院 ? 周兴伟
此次听陈教授的课,收益颇多。陈教授的这些讲座,不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点,更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。 第一讲、微积分思想产生与发展的历史
法国著名的数学家h.庞加莱说过:“如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么,如果你要学好并用好《数学分析》,那么,掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中,我不仅讲授《数学分析》,也讲授《数学史》,所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法,这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中,陈教授脉络清晰,分析精当,这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头,但仅满足于史料的堆砌,没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积
的分析,这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的(以疑激趣、以奇激趣),而且有利于提高学生的民族自豪感(陈教授也提到了这一点)。
第二讲、实数系的基本定理
在这一讲中,陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开,对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题,带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”,我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题,但遗憾的是,当我剖析“若无穷旅馆住满了人,再来两个时,可将住1号房间的移往3号房间,住2号房间的移往4号房间,从而空出两个房间”时,学生对我“能移”表示怀疑。这
一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子,用有限的眼光来看无限,只能是‘只在此山中,云深不知处’”。当然,我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议,能指点一下,则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系,包括q与R的对等关系,或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”,找一个可数集来“填补”他们之间的差距,这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。
从可数集到不可数集,再加上无最大基数定理,让我们看到了“无穷的层次性”,由此我们不难理解“人外有人,天外有天,无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾,羡长江之无穷”的感慨。 陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了,几何直观的描述形象直观。
第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美,而是缺少发现美的眼睛”。我想说:“数学中并不缺少美,缺少的是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师,他不仅发现了数学的美,而且为我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式:e?i?1?0,实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一,获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数(0,1,i,e,?)之间的绝妙的有趣的联系,被认为是数学奇异美的典例。
数学分析陈纪修答案
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