课时作业13 基本不等式的应用
时间:45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1.设a,b,c∈R,ab=2,且c≤a2+b2恒成立,则c的最大值是( D ) 1A. 21C. 4
B.2 D.4
解析:∵ab=2,∴a2+b2≥2ab=4.又c≤a2+b2恒成立,∴c≤4.故选D. x2-4x+55
2.已知x≥,则f(x)=有( D )
22x-45
A.最大值
2C.最大值1
5
B.最小值 4D.最小值1
1?x2-4x+5?x-2?2+11?1?x-2?+解析:f(x)===?≥1,当且仅当x-2=,即x?x-2?2?2x-42?x-2?x-2=3时等号成立,故f(x)有最小值1,故选D.
1
3.设x>0,则y=3-3x-的最大值是( D )
xA.3 C.-1
1
解析:∵x>0,∴3x+≥2
x
B.3-22 D.3-23
113
3x+?≤-23,3x·=23,当且仅当x=时取等号,∴-? x??x3
1
则y=3-3x-≤3-23,故选D.
x
11λ
4.已知a,b,c满足a>b>c时,不等式++>0恒成立,则λ的取值范围
a-bb-cc-a是( C )
A.λ≤0 C.λ<4
B.λ<1 D.λ>4
?1+1?解析:由题意知,原不等式可变形为λ<(a-c)·?a-bb-c?=[(a-b)+(b-
??
a-bb-ca-bb-c?1+1?
c)]·++1,而1+++1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2?a-bb-c?=1+??b-ca-bb-ca-b
时等号成立),则λ<4.故选C.
5.高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上、下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,已知当教室在第n层楼时,上、下楼造成的不满意度为n,但高处空气清新,嘈杂声较小,环境较好,因此随着教室所在楼层的升高,环境不满意度降低,8
设教室在第n层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
n( B )
A.2 C.4
B.3 D.8
8
解析:由题意知,教室在第n层楼时,同学们总的不满意度y=n+≥42,当且仅当
n88
n=,即n=22时,不满意度最小,又n∈N*,分别把n=2,3代入y=n+,易知n=3时,nny最小,故最适宜的教室应在3楼.
6.若0 解析:由0 B.a2a2+b1b2 1 D. 2 ?a1+a2?2?b1+b2?21 ?+??=. ?2??2?2 又a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)b1+(a2-a1)b2=(a2-a1)(b2-b1)>0,所以a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 1 注意到1=(a1+a2)(b1+b2)=a1b1+a2b2+a1b2+a2b1<2(a1b1+a2b2),所以a1b1+a2b2>. 2综上可知a1b1+a2b2最大. 二、填空题 7.若对任意x>0, x1 ≤a恒成立,则a的取值范围是a≥. 5x2+3x+1 1 解析:因为x>0,所以x+≥2. x当且仅当x=1时取等号,所以有 x111 =≤= 215x+3x+1x++32+3 x即 x11 的最大值为,故a≥. 55x2+3x+1 23 8.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是. 3 解析:注意到消元有难度,而目标式为x+y,且条件可以构造出x+y的平方,于是1 x+y342323 =(x+y)-xy≥(x+y)-()2=(x+y)2,所以≥(x+y)2,所以-≤x+y≤,当且 24333 2 2 仅当x=y= 323 时取最大值. 33 b },其中min{a,b}表示a,b两数中较小的 a2+4b2 9.已知a>0,b>0,且h=min{a,1 数,则h的最大值为. 2 bab1112≤解析:由题意知,0 2a+4b2a2+4b2a+4b4 baa4b1且仅当=,即a=2b时取等号.故h的最大值为. ba2 三、解答题 ab 10.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求 xya,b的值. ?a+b? 解:因为x+y=(x+y)·1=(x+y)·?xy? aybx =a+b++≥a+b+2ab=(a+b)2, xyaybxy 当且仅当=,即= xyx b 时,等号成立, a 所以x+y的最小值为(a+b)2=18, 又a+b=10,所以ab=16. 所以a,b是方程x2-10x+16=0的两根, 所以a=2,b=8或a=8,b=2. 11.如图,如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x米墙, (1)求x的取值范围; (2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米). 144 解:(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x米,则另一边长为米, x144 则矩形草地所需铁丝网长度为y=x+2×. x144 令y=x+2×≤44(x>0),解得8≤x≤36, x
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用课时作业含解析人教A版必修一
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