课时作业13 基本不等式的应用
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是( D ) 1A. 21C. 4
B．2 D．4
解析：∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4.又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4.故选D. x2－4x＋55
2．已知x≥，则f(x)＝有( D )
22x－45
A．最大值
2C．最大值1
5
B．最小值 4D．最小值1
1?x2－4x＋5?x－2?2＋11?1?x－2?＋解析：f(x)＝＝＝?≥1，当且仅当x－2＝，即x?x－2?2?2x－42?x－2?x－2＝3时等号成立，故f(x)有最小值1，故选D.
1
3．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( D )
xA．3 C．－1
1
解析：∵x>0，∴3x＋≥2
x
B．3－22 D．3－23
113
3x＋?≤－23，3x·＝23，当且仅当x＝时取等号，∴－? x??x3
1
则y＝3－3x－≤3－23，故选D.
x
11λ
4．已知a，b，c满足a>b>c时，不等式＋＋>0恒成立，则λ的取值范围
a－bb－cc－a是( C )
A．λ≤0 C．λ<4
B．λ<1 D．λ>4
?1＋1?解析：由题意知，原不等式可变形为λ<(a－c)·?a－bb－c?＝[(a－b)＋(b－
??
a－bb－ca－bb－c?1＋1?
c)]·＋＋1，而1＋＋＋1≥4(当且仅当(a－b)2＝(b－c)2?a－bb－c?＝1＋??b－ca－bb－ca－b
时等号成立)，则λ<4.故选C.
5．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，已知当教室在第n层楼时，上、下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，8
设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为
n( B )
A．2 C．4
B．3 D．8
8
解析：由题意知，教室在第n层楼时，同学们总的不满意度y＝n＋≥42，当且仅当
n88
n＝，即n＝22时，不满意度最小，又n∈N*，分别把n＝2,3代入y＝n＋，易知n＝3时，nny最小，故最适宜的教室应在3楼．
6．若0 解析：由0 B．a2a2＋b1b2 1 D. 2 ?a1＋a2?2?b1＋b2?21 ?＋??＝. ?2??2?2 又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 1 注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>. 2综上可知a1b1＋a2b2最大． 二、填空题 7．若对任意x>0， x1 ≤a恒成立，则a的取值范围是a≥. 5x2＋3x＋1 1 解析：因为x>0，所以x＋≥2. x当且仅当x＝1时取等号，所以有 x111 ＝≤＝ 215x＋3x＋1x＋＋32＋3 x即 x11 的最大值为，故a≥. 55x2＋3x＋1 23 8．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是. 3 解析：注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1 x＋y342323 ＝(x＋y)－xy≥(x＋y)－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以－≤x＋y≤，当且 24333 2 2 仅当x＝y＝ 323 时取最大值. 33 b }，其中min{a，b}表示a，b两数中较小的 a2＋4b2 9．已知a>0，b>0，且h＝min{a，1 数，则h的最大值为. 2 bab1112≤解析：由题意知，0 2a＋4b2a2＋4b2a＋4b4 baa4b1且仅当＝，即a＝2b时取等号．故h的最大值为. ba2 三、解答题 ab 10．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求 xya，b的值． ?a＋b? 解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·?xy? aybx ＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2， xyaybxy 当且仅当＝，即＝ xyx b 时，等号成立， a 所以x＋y的最小值为(a＋b)2＝18， 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 11．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙， (1)求x的取值范围； (2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)． 144 解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米， x144 则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×. x144 令y＝x＋2×≤44(x>0)，解得8≤x≤36， x
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用课时作业含解析人教A版必修一
