2024年中考数学一模试卷1
一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．﹣
B．
C．﹣3
D．3
2．下列运算正确的是（ ） A．3a×2a＝6a C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
B．a8÷a4＝a2 D．（a3）2＝a9
3．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
S2
甲 24 2.1
乙 24 1.9
丙 23 2
丁 20 1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
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A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16
B．20
C．32
D．40
8．如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
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A．4
B．6
C．4
D．6
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．计算：（
）2+1＝ ．
10．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ． 11．分解因式：a2b﹣b＝ ．
12．中国“神威?太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
13．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 ． 14．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 ．
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 cm．
16．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x y
… …
﹣3 ﹣4
﹣1 2
1 4
3 2
… …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 ．
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18．如图，在平面直角坐标系中A为直线y＝数y＝﹣
x﹣1上一点，过原点O的直线与反比例函
图象交于点B，C．若△ABC为等边三角形，则点A的坐标为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共84分） 19．计算：（﹣2）3+
﹣2sin30°+（2024﹣π）0+|
﹣4|．
20．解方程组和不等式组求整数解． （1）解方程组
；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
21．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
22．为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 ； （2）将条形统计图补充完整；
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（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
23．河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．
24．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍． （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
25．襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）．
≈
26．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝
．
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（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
（4）已知点D（0，6），连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝
x﹣3与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝﹣
时，连接AQ，BD，求证：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0时，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE?EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
28．问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝
，P为BD上一点，B'是点B以P为
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对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆．
（1）BP＝ 时，AP⊥BD时，此时半径是 ； （2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；
拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC＝直接写出AD的最大值．
，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．﹣3的倒数是（ ） A．﹣
B．
C．﹣3
D．3
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1， ∴﹣3的倒数是﹣． 故选：A．
2．下列运算正确的是（ ） A．3a×2a＝6a C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
B．a8÷a4＝a2 D．（a3）2＝a9
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误； B、a8÷a4＝a4，故本选项错误； C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确； D、（a3）2＝a6，故本选项错误． 故选：C．
3．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：
S2
甲 24 2.1
乙 24 1.9
丙 23 2
丁 20 1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
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【解答】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选：B．
4．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解． 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径． 故选：D．
5．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵AD＝CD，∠1＝50°， ∴∠CAD＝∠ACD＝65°， ∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
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故选：C．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题． 【解答】解：连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°． 根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D． ∴sinB＝sinD＝故选：A．
＝．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
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A．16
B．20
C．32
D．40
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）． 由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k． 【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E， ∴E为BD中点，∠DAB＝90°． ∴E（x，4）． ∵∠DAB＝90°， ∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2， 解得x＝10， ∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k＝5×4＝20． 故选：B．
8．如图，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作直角三角形，其中∠OQP＝90°，∠POQ＝30°，当点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的路径长为（ ）
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A．4
B．6
C．4
D．6
【分析】如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．利用相似三角形的性质求出MG，GH，MH即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，点P在△ABC的三条边上运动一周时，点Q运动的轨迹是△MGH．
∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4）， ∴AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∵
＝
＝
，∠AOB＝∠MOG，
∴△AOB∽△MOG， ∴
＝
＝，
BC＝2
，MH＝+2
+
AC＝＝6
，
，
，
∴MG＝
同法可得，GH＝
∴点Q运动的路径长＝故选：D．
二．填空题（共10小题）
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9．计算：（
）2+1＝ 4 ．
【分析】先乘方，再加法． 【解答】解：原式＝3+1＝4． 故答案为：4．
10．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ 15 ．
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x?2y，继而可求得答案． 【解答】解：∵2x＝3，2y＝5， ∴2x+y＝2x?2y＝3×5＝15． 故答案为：15．
11．分解因式：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：a2b﹣b ＝b（a2﹣1） ＝b（a+1）（a﹣1）． 故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
12．中国“神威?太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109． 故答案为：1.25×109．
13．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是 4 ． 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝1， 则a+b的值是：4． 故答案为：4．
14．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为 1 ．
【分析】由已知字母a、b的系数为2、﹣3，代数式中前二项的北系娄秋4、﹣6，提取
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此二项的公因式2a后，代入求值变形得﹣2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数式的值为1．
【解答】解：∵2a﹣3b＝﹣1， ∴4a2﹣6ab+3b ＝2a（2a﹣3b）+3b ＝2a×（﹣1）+3b ＝﹣2a+3b ＝﹣（2a﹣3b） ＝﹣（﹣1） ＝1 故答案为1
15．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 3 cm．
【分析】设该圆锥底面圆的半径为rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝
，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr＝
，解得r＝3，
即该圆锥底面圆的半径为3． 故答案为：3．
16．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x y
… …
﹣3 ﹣4
﹣1 2
1 4
3 2
… …
则当﹣3＜x＜3时，y满足的范围是 ﹣4＜y≤4 ．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x＝﹣3及x＝3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为x＝1，顶点为（1，4），函数有最大值4， ∴抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜3时，﹣4＜y≤4，
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故答案为，﹣4＜y≤4．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 2
﹣2 ．
【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最最小值，求出此时的值便可．
【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF， ∵BC＝4， ∴CF＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝10， ∴AF＝
∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED＝∠CEB＝90°， ∴E点在⊙F上，
∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立， ∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2
﹣2．
，
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故答案为：2
﹣2．
x﹣1上一点，过原点O的直线与反比例函
，
18．如图，在平面直角坐标系中A为直线y＝数y＝﹣
图象交于点B，C．若△ABC为等边三角形，则点A的坐标为 （﹣2，） ．
﹣）或（6
【分析】观察图象可知点A只能在第三象限，如图设△ABC是等边三角形，作BM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N．设B（m，﹣
）．利用相似三角形的性质求出点A的坐标（用
m表示），再利用待定系数法求出m即可．
【解答】解：观察图象可知点A只能在第三象限，如图设△ABC是等边三角形，作BM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N．设B（m，﹣
）．
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由题意，B，C关于原点O对称， ∴OB＝OC，
∵△ABC是等边三角形， ∴OA⊥BC，OA＝
OB，
∴∠AOB＝∠OMB＝∠ONA＝90°，
∴∠BOM+∠AON＝90°，∠NAO+∠AON＝90°， ∴∠BOM＝∠NAO， ∴△OMB∽△ANO， ∴
＝
＝
＝
， ， m，
∵OM＝﹣m，BM＝﹣∴ON＝﹣，AN＝﹣∴A（，
m），
∵点A在直线y＝∴
m＝
﹣1， 或
x﹣1上，
解得m＝﹣∴A（﹣2
（舍弃），
，﹣），
，）
当点A在第一象限时，同法可得A（6故答案为：（﹣2三．解答题 19．计算：（﹣2）3+
，﹣）或（6
，）．
﹣2sin30°+（2024﹣π）0+|
﹣4|．
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【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（﹣2）3+＝﹣8+4﹣2×+1+4﹣＝﹣
．
﹣2sin30°+（2024﹣π）0+|
﹣4|
20．解方程组和不等式组求整数解． （1）解方程组
；
（2）解不等式组，并求此不等式组的整数解．
【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）方程组整理得：①+②得：6y＝6，即y＝1， 将y＝1代入②得：x＝3， 则方程组的解为
；
，
（2），
由①得：x＞； 由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为＜x＜4， 则不等式组的整数解为1，2，3．
21．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．
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【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得∠C＝∠E． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC ∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE ∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠C＝∠E
22．为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取 50 名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为 72° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？
【分析】（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），D类所对应的扇形圆心角的大小360°×
＝72°；
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人），据此补充条形统计图； （3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×【解答】解：（1）这次共抽取：12÷24%＝50（人），
＝690（人）．
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D类所对应的扇形圆心角的大小360°×故答案为50，72°；
＝72°，
（2）A类学生：50﹣23﹣12﹣10＝5（人）， 条形统计图补充如下
（3）该校表示“喜欢”的B类的学生大约有1500×答：该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人；
23．河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率． 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意画出树状图如下：
＝690（人），
甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA）、（AAB）、（ABA）、（ABB）、（BAA）、（BAB）、（BBA）、（BBB），共有8种，
它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种， 所以P（A）＝＝．
24．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍． （1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
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（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个， 根据题意，得：解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个． （2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个， 依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000， 解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
25．襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）．
≈
+
＝1100，
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【分析】根据正切的定义分别求出EC、BC，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝则BC＝AC?tanA≈121×0.75＝90.75， 由题意得，CD＝AC﹣AD＝97.5， 在Rt△ECD中，∠EDC＝45°， ∴EC＝CD＝97.5，
∴BE＝EC﹣BC＝6.75≈6.8（m）， 答：塔冠BE的高度约为6.8m．
26．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝
．
，
（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b＜的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
（4）已知点D（0，6），连接AD，过原点O的直线l将四边形OBAD分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线l，保留作图痕迹，并直接写出直线l的解析式．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结
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论；
（2）构建方程组求出直线与反比例函数的两个交点坐标即可判断． （3）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论； ③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
（4）作线段BD的中垂线EF交BD于G，连接OG，AG，OA，作GH∥OA交AD于H，作直线OH，直线OH即为所求的直线l．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D， ∵B（5，0）， ∴OB＝5， ∵S△OAB＝
，
，
∴×5×AD＝∴AD＝3， ∵OB＝AB， ∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝∴OD＝OB+BD＝9， ∴A（9，3），
＝4，
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27， ∴反比例函数的解析式为y＝
，
，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣
；
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（2）由
解得或，
∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，﹣），
结合图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＜的解集为0＜x＜9．
（3）由（1）知，AB＝5， ∵△ABP是等腰三角形， ∴①当AB＝PB时， ∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0）， ②当AB＝AP时，如图2， 由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称， ∴DP＝BD＝4， ∴OP＝5+4+4＝13， ∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0）， ∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2， ∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2， ∴a＝∴P（
， ，0），
，0）．
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（
（4）如图3中，直线l即为所求．
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由题意直线OA的解析式为y＝x，直线BD的解析式为y＝﹣x+6，直线AD的解析式为y＝﹣x+6， 可得G（，3）， ∵GH∥OA，
∴直线GH的解析式为y＝x+
，
由，解得，
∴H（，），
x．
∴直线l的解析式为y＝
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27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x﹣3与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线l∥x轴，点P（m，y1）为该抛物线上一个动点，点Q（m，y2）为直线l上一个动点．
（1）当m＜0，且y1＝﹣
时，连接AQ，BD，求证：四边形ABDQ是平行四边形；
（2）当m＞0时，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OE＜EC，且OE?EC＝2，连接PQ，求线段PQ的长；
（3）连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出点D（3，﹣3），求出CQ＝2，DQ＝5，则AB＝DQ，由平行四边形的判定可得出答案；
（2）证明△AOE∽△QCE，得出
，求出QC＝2，则可得出答案；
（3）分两种不同的情况：①当点P在直线l上方时，②当点P在直线l下方时，求出答案即可．
【解答】解：（1）证明：当y＝0时，
x﹣3＝0，
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解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝5．
当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． ∵直线l∥x轴，
∴直线l的解析式为y＝﹣3． ∴
x﹣3＝﹣3，
解得x3＝0，x4＝3， ∴D（3，﹣3）， ∴CD＝3．
∵点Q（m，y2）在直线l上， ∴y2＝﹣3． ∵y1＝﹣∴y1＝，
∵m＜0，点P（m，y1）在该抛物线上， ∴
， ，
解得m＝﹣2或m＝5（舍去）． ∵直线l∥x轴， ∴CQ＝2， ∴DQ＝5，
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∴AB＝DQ，AB∥DQ， ∴四边形ABDQ是平行四边形． （2）∵P，Q两点的横坐标都是m， ∴直线l∥x轴， ∴
设OE＝n，则EC＝3﹣n， ∴n（3﹣n）＝2， 解得n＝1或n＝2． ∵OE＜EC， ∴OE＝1，EC＝2． ∵直线l∥x轴，
∴∠OAE＝∠CQE，∠AOE＝∠QCE， ∴△AOE∽△QCE， ∴
，
|，
∴QC＝2， ∵m＞0， ∴m＝2， ∴PQ＝；
（3）假设存在点P，使得∠PCQ与∠BAC互为余角，即∠PCQ+∠BAC＝90°．
∵∠BAC+∠ACO＝90°， ∴∠PCQ＝∠ACO．
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∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠PCQ＝tan∠ACO＝， 连接PQ．
∵直线l∥x轴，直线PQ∥y轴，
∴△PCQ是直角三角形，且∠CQP＝90°． ∴tan∠PCQ＝
，
m，
①当点P在直线l上方时，PQ＝y1﹣y2＝（i）若点P在y轴左侧，则m＜0， ∴QC＝﹣m． ∴
×（﹣m），
（舍去）．
解得m1＝0（舍去），m2＝
（ii）若点P在y轴右侧，则m＞0， ∴QC＝m． ∴∴y1﹣y2＝∴y1＝﹣∴
，
；
m，解得m3＝0（舍去），m4＝，
．
②当点P在直线l下方时，m＞0， ∴QC＝m，PQ＝y2﹣y1＝﹣∴﹣
m，
，
m，
解得m5＝0（舍去），m6＝∴y2﹣y1＝∴y1＝﹣∴
，
． ，
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综上，存在点28．问题探究：
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，cos∠ABD＝
，使得∠PCQ与∠BAC互为余角．
，P为BD上一点，B'是点B以P为
对称中心的对称点，点B'也在BD上（可以是端点），E为PD的中点，以点E为圆，EB'为半径在BD下方作半圆． （1）BP＝
时，AP⊥BD时，此时半径是
；
（2）当半圆与矩形的边相切时，求BP的长；
拓展延伸：
（3）如图，AB＝6，AC＝直接写出AD的最大值．
，以BC为底边在BC上方作等腰△BCD，其中∠CDB＝120°，
【分析】（1）当AP⊥BD时，BP＝AB?cos∠ABD＝10×
＝
＝PB′，DE＝PD＝
＝＝PE，则半径＝B′E＝PE﹣PB′＝；
（2）分点G是切点、点H时切点两种情况，分别求解即可； （3）构建△ABE使△ABE∽△CBD，证明△EBD∽△ABC，故进而求解．
【解答】解：（1）cos∠ABD＝解得：BD＝26；
当AP⊥BD时，BP＝AB?cos∠ABD＝10×
＝
＝PB′，
＝
，则sin∠ABD＝
，
，即
，
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∴DE＝PD＝＝＝PE， ；
则半径＝B′E＝PE﹣PB′＝故答案为
，
；
（2）①当点B′在点E的左侧时， 如图1，当点G是切点时，
而PB＝PB′＝a，ED＝PD＝（26﹣a）＝PE， 故B′E＝BE﹣BB′＝13﹣
，
则cos∠BEG＝cos∠ABD＝＝，
解得：a＝；
如图2，当点H时切点时， 同理可得：a＝
；
②当点B′在点E的右侧时， 此时半圆与CD相切，
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同理可得：BP＝综上，BP的长为
； 或
或
；
（3）连接AD，构建△ABE使△ABE∽△CBD，则，
则∠EAB＝∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°＝∠DBC＝∠EBA，
在等腰三角形ABE中，AE＝BE＝＝＝2，
∵∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC，∠EBD＝∠CBD﹣∠EBC， 而∠EBA＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠EBD， ∵
，
，即
，
∴△EBD∽△ABC，故∴DE＝
AC＝1，
+1， +1．
∵AD≤AE+DE＝2故AD的最大值为2
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2024年中考数学模拟试卷2
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设x为有理数，若|x|＝x，则（ ） A．x为正数
B．x为负数
C．x为非正数
D．x为非负数
2．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样，规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和记为返现金额．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得返现金额低于30元的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，若∠A＝50°，∠1＝110°，则∠2的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
5．下列运算正确的是（ ） A．（x3）4＝x7
B．x2?x3＝x5
C．x4÷x＝x4
D．x+x2＝x3
6．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ） A．B．
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C．D．
7．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．47° 8．计算A．2﹣x
﹣
B．57° 的结果是（ ）
B．x﹣2
C．
D．
C．60°
D．73°
9．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y3＜y1＜y2
10．如图，⊙O中的弦BC等于⊙O的半径，延长BC到D，使BC＝CD，点A为优弧BC上的一个动点，连接AD，AB，AC，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E，当点A在优弧BC上从点C运动到点B时，则DE+AC的值的变化情况是（ ）
A．不变 C．先变小再变大
B．先变大再变小 D．无法确定
11．如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
12．如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
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D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果． 13．计算：
+
＝ ．
14．如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠1＝30°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2+∠3＝ ．
15．已知一元二次方程x2﹣4x+c＝0无实数根，则c的取值范围是 ．
16．如图，将矩形ABCD折叠，使点A落在CD边上的点M处，折痕BE交AD边于点 E．若AB＝5，BC＝4，则DM的长为 ．
17．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形ABCD对角线上时，则DE的长为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解方程组：
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19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E，F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O经过点E． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BC＝4，cosC＝，求⊙O的半径．
20．某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ ，n＝ ； （2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 21．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800m，求直线l上距离D点多远的C处开挖？（
≈1.414，精确到1米）
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22．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．
23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（8，0）．点P从点B开始，沿射线BA以每秒1个单位长度的速度运动，以点P为圆心、PB为半径的圆交射线BA于点C．设点P的运动时间为t． （1）线段AB的长为 ． （2）当⊙P与y轴相切时，求t
的值．
（3）如图2，⊙P与y轴相交于正、负半轴，交点分别为M、N，连接CN、BN．当△CNB为等腰三角形时，求点N的坐标．
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24．若一次函数y＝mx+n与反比例函数y＝同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
（1）判断y＝2x﹣1与y＝是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y＝
存在“共享函数”y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2024，求m的值．
在自变量x的值满足的m≤x≤m+6
（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y＝
的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
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答 案
一
1．D； 2．C；3．D； 4．D； 5．B； 6．A；7．A；8．A； 9．D； 10．B； 11．C； 12．A； 二 13．2． 14．210°． 15．c＞4． 16．2． 17．三 18．
． 或
．
19．（1）证明：连接OE，如图所示： 则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠0BE＝∠CBE， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO＝∠ADB，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠AEO＝90°， ∴OE⊥AD， ∴AD与⊙O相切； （2）⊙O的半径为．
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20．（1）100，60；
（2）可回收物有：100﹣30﹣2﹣8＝60（吨）， 补全完整的条形统计图如右图所示； （3）108； （4）200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
21．直线L上距离D点566米的C处开挖． 22．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OC＝OB，
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∴∠B＝∠OCB， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠DCA＝∠OCB，
∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°， ∴CD⊥OC， ∴CD是⊙O的切线； （2）4
；
EC．
（3）AC＝AF+CF＝BC+23．（1）10； （2）t＝
（s）；
（3）点N的坐标为（0，﹣）．
24．（1）点P的坐标为：（，2）或（﹣1，﹣3）； （2）m＝2；
（3）由y＝x+m和反比例函数y＝函数的对称轴为：x＝﹣m； ①m＝﹣9﹣②当m
或﹣9+
（舍去）；
得：“共享函数”的解析式为y＝x2+mx﹣（m2+13），
m＜m+6，即﹣4＜m＜0，
函数在x＝﹣m处取得最小值，即（﹣m）2﹣m2﹣m2﹣13＝3，无解； ③当m≥0时，
函数在x＝m处，取得最小值，即m2+m2﹣m2﹣13＝3，解得：m＝±4（舍去﹣4）， 综上，m＝﹣9﹣
或4，
）x﹣（155+18
）
故“共享函数”的解析式为y＝x2+mx﹣（m2+13）＝x2+（﹣9﹣或x2+4x﹣29．
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2024年中考数学一模试卷 2套（Word版，含答案） - 图文
