[基础题组练]
x2y2
1．过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，
ab12
且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若 43 ?13?A.?，? ?34??3?C.?0，? ?4? b??解析：选B.由题意知B?－c，－?， a?? a－c＝1－e. c＋aa＝ 2 ?13?B.?，? ?34??1?D．?，1? ?3? 所以k＝ b2a12又 4313解得 34 x2y2 2．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段 abAB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是( ) A．2x±y＝0 C.2x±y＝0 B．x±2y＝0 D．x±2y＝0 x2y2x2y21122 解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2－2＝1①，2－2＝1②，由①－②得 abab 1 （x1－x2）（x1＋x2）（y1－y2）（y1＋y2）4bb1 ＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线 a2b2a2a2 2 C的渐近线方程为x±2y＝0. 3．抛物线C：y＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则∠PMQ＝ ． 2 ??设过点M的切线方程为x＝my－，22 解析：由题意得M?－，0?，代入y＝2px得y－2pmy2?2? ＋p＝0，所以Δ＝4pm－4p＝0，所以m＝±1，则切线斜率k＝±1，所以MQ⊥MP，因此∠PMQπ ＝. 2 π答案： 2 4．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA| 43－|PF|的最小值为 ． 2 22 2 ppx2y2 解析：如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4， 所以|PF|＝4－|PF′|，所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4.当且仅当P，A，F′三点共线时，|PA|＋|PF′|取最小值|AF′| ＝（2＋1）＋16＝5，所以|PA|－|PF|的最小值为1. 答案：1 2 x2y2 5．(2020·长春市质量监测(二))已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O， ab1 左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，椭圆C的离心 2 2 率为 3. 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积． 解：(1)由题意知，离心率e＝椭圆C的标准方程为＋y＝1. 4 (2)由条件可知F1(－3，0)，直线l：y＝x＋3，联立直线l和椭圆C的方程，得 b?23b21?1－??＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以 a2?a?2 x2 2 ??y＝x＋3，832 消去y得5x＋83x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2?x22 5＋y＝1，??4 84212＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|55226＝. 5 x2y2 6．设椭圆E的方程为2＋2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点Bab的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为 (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 5. 10 ?21?解：(1)由题设条件知，点M的坐标为?a，b?， ?33? 又kOM＝5b5，从而＝. 102a10 2 2 进而a＝5b，c＝a－b＝2b， c25 故e＝＝. a5 ab?→?a5b??，－(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为?，可得NM＝?，?. 2??2??66? 又AB＝(－a，b)， 12521→→22 从而有AB·NM＝－a＋b＝(5b－a)． 666由(1)的计算结果可知a＝5b， →→ 所以AB·NM＝0，故MN⊥AB. 3 2 2 [综合题组练] x2y2 1．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c，0)的最大 ab距离是2＋1，且1，2a，4c成等比数列． (1)求椭圆的方程； (2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m，0)，求实数m的取值范围． ?a＋c＝2＋1， 解：(1)由已知可得?1×4c＝2a， ?a＝b＋c， 2 2 2 2 ?a＝2，解得?b＝1， ?c＝1， 所以椭圆的方程为＋y＝1. 2 (2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)． ??x＋2y－2＝0，2222 与椭圆方程联立得?消去y可得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0. ??y＝k（x－1）， 2 2 x2 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4k－2k则x1＋x2＝2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2. 1＋2k1＋2k2 ?2k2，－k2?. 可得线段AB的中点为N???1＋2k1＋2k? 当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0. 当k≠0时，直线MN的方程为 2k?1? y＋2?， 2＝－?x－1＋2kk?1＋2k? 2 k2 化简得ky＋x－ k2 1＋2k2 ＝0. . 令y＝0，得m＝ k2 1＋2k1 2 所以m＝2＝ 1＋2k1 k2 k?1?∈?0，?. ?2?2＋2 ?1?综上所述，m的取值范围为?0，?. ?2? 2．(2020·广州市综合检测(一))已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y 4 3 ＝x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭2→→9 圆C的另一个焦点是F1，且MF1·MF2＝. 4 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l过点(－1，0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值． x2y23 解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，因为点M在直线y＝x上，且点M在xab2 轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c，0)， ?3c?所以点M?c，?. 2?? 3??3?9→→? 因为MF1·MF2＝?－2c，－c?·?0，－c?＝， 2??2?4?所以c＝1. 19??2＋2＝1， 所以?a4b ??a2＝b2＋1， ??a＝4，解得?2 ?b＝3.? 2 所以椭圆C的方程为＋＝1. 43 (2)由(1)知，F1(－1，0)，过点F1(－1，0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ1 的周长为4a＝8，又S△F2PQ＝·4a·r(r为△F2PQ的内切圆半径)， 2 所以当△F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大． 设直线l的方程为x＝ky－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x2y2 x＝ky－1，??22则?xy ＋＝1，??43 消去x得(4＋3k)y－6ky－9＝0， 6ky＋y＝，??3k＋4所以? 9 ??yy＝－3k＋4， 1 2 2 12 22 2 112k＋1所以S△F2PQ＝·|F1F2|·|y1－y2|＝. 2 23k＋4令 k＋1＝t，则t≥1， 5 2 2 所以S△F＝12 2PQ3t＋ 1， t令f(t)＝3t＋1 t， 则f′(t)＝3－1 t2， 当t∈[1，＋∞)时，f′(t)>0， f(t)＝3t＋1 t在[1，＋∞)上单调递增， 所以S△F12 2PQ＝≤3，当t3t＋ 1＝1时取等号，t即当k＝0时，△F2PQ的面积取得最大值3， 结合S△F13 2PQ＝2·4a·r，得r的最大值为4，所以△F9 2PQ的内切圆面积的最大值为16π. 6
2021高考文一轮精练：第九章 第8讲 第1课时 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题解析版
