直纹面和可展曲面
一 直纹面的定义
由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。
如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。 二 直纹面的参数表示
在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C），其参数表时为
??a?a(u)，这样的曲线称为
?直纹面的导线。设b(u)是过 导线（C）上a(u)点的直母线上
?的单位向量，导线（C）上a(u)点
??b(u) ?a(u)?r(u,v)(C) 到直母线上任一点P(u,v)的距
?????离为|v|,则向径OP?rO 可以表示
为 :
???r?a(u)?vb(u)。
这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C）平行的曲线。 三 直纹面的切平面
???????????????对直纹面r?a(u)?vb(u), ru?a(u)?vb(u), ru?rv?a?b?vb??b,
????????????????(a??b)?(b??b)??b(a?,b,b?)，?(a??b)‖(b??b)?(a?,b,b?)?0 。
P点在一条直
?母线上移动时，参数v随 P点的变化而变化，因此直纹面的法向量n45
???????（1）若(a??b)不平行于(b??b)，即(a?,b,b?)?0，则当
（或切平面）绕直母线而旋转。
???????（2）若(a??b)平行于(b??b)，即(a?,b,b?)?0，则当
P点在一条直母
线上移动时，虽然v变化了，但是 也即
???ru?rvn???ru?rv??ru?rv只改变长度，不改变方向。
保持不变。这说明当P点沿直母线移动时，它的法向
量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。 四 直纹面的高斯曲率
?????对于直纹面r?a(u)?vb(u),rv?b(u)。所以曲面在
P点沿方向rv的法
,因此在P点
?截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理?n沿rv的法曲率?n能出现?n??0.据前面的讨论,只当P
??cos?点是双曲点或抛物点时才可
?0的情况。这说明直纹面上的高斯曲率K?0。
??? 下面将指出，当(a?,b,b?)?0时，K得
?0，当
???(a?,b,?b?)时0
K?0。
由直纹面的方程
???r?a(u)?vb(u)???????ruu?a???vb??，ruv?b?，rvv?0。???(a?,b,b?)EG?F?0，当
2???????r?ra??b?v(b??b)n??u?v?，L = ?? 2ru?rvEG?F????2(a?,b,b?)(EG?F)22，M?,N?0，K?LN?MEG?F22
，所以当(a?,b,b?)?0时，K???
???(a?,b,?b?)时0
K?0。
因沿直母线总有?n五 腰曲线
?0，故直母线是直纹面的渐近线。
1 腰点的定义：设l为过导线
?上点a(u)的直母
???b??bM?l?线，l?是过导线上 ?a(u??u)?bl的邻近点a(u??u)的直母线，作l和
l?的公垂线（如图），垂足分别为
MM
?a(u)46
和M?，公垂线MM?的垂足M当?u?0时沿直母线趋于极限位置M0,点M0称为直母线l上的腰点。 2 腰点的向径表达式
?? 垂足M和M?对应的向径分别是M：r?a(u)?vb(u)?，M?：
??????r??r?a??a?(v??v)(b??b)
???????????，由此得MM???r??a?v?b??v(b??b)，
又因
?????????????????(?，MM??b,MMb?)b所以
??????????????MM??b?0 。将MM?带入得：
得：
???????2?a??b?v?b??b??v(b??b)??b?0，两边除以(?u)，取极限令?u?0?????a??b????2a??b??vb??0，所以v???2，把它带入r?a(u)?vb(u)b?得腰点的向径表
?????a(u)?b?(u)?达式：r?a(u)??2b(u) ?? ?? ??（＊）
b?(u)3
??腰曲线的定义：在直纹面的每一条直母线上（假如b??0）有
一个腰点，这些腰点的轨迹叫做腰曲线。
说明：（1）（＊）为对应参数为u的直母线l上腰点的向径，当u变动时就得到所有直母线上的腰点的向径。因此（＊）表示了所有腰点构成的轨迹曲线。所以（＊）就是腰曲线的参数方程。
??a（2）若取腰曲线为导线?a(u)，则（＊）中腰曲线的向径
?????????r于是可得a?b?0；反之，若a?b?0，可知腰曲线r?a(u)，
????a(u)为
????导线。即有结论：腰曲线是导线?a??b??0，即a??b? 。
（3）腰曲线的几何意义: 它沿直母线的狭窄部位“围绕”着直纹面。
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4.2 可展曲面 一 可展曲面的定义
???定义 把直纹面r?a(u)?vb(u)中满足(a?,b,b?)?0的曲面叫做可展
???曲面。
推论 直纹面可展的充分必要条件是沿直纹面的每一条直母线只有一个切平面。
说明（1）有的书上就是以推论的条件定义可展曲面的，而把
???(a?,b,b?)?0作为一个充要条件。
（2）确实有沿同一直母线其切平面不是同一个的直纹面，如正螺面、单叶双曲面、双曲抛物面等，他们都不是可展曲面。
二 可展曲面包含的曲面
命题1 每一个可展曲面或是柱面或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。 证明
???设r?a(u)?vb(u)???为可展曲面，则(a?,b,b?)?0。我们取腰曲
??线为导线，此时a??b??0。
?????（1）b??0,a??0,a(u)=常向量。表明腰曲线退化为一点，也就是
说，各条直母线上的腰点都重合。所以曲面是以腰点为顶点的锥面。 （2）
??a??b??0????b??0,a??0???时，由条件(a?,b,b?)?0???，所以a?,b,b?共面，又
?????，而|b|?1，所以b?b? 。?a?‖b，这时可展曲面是
?????r?a(u)?vb(u)=a(u)?va?(u)，可知这是导线（腰曲线）的切线曲
面。如图
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?a(u)?a(u)?a(u)???（3） b??0，则b=常向量。这表示柱面。如上图。
说明：命题的逆命题也成立。即：每一个柱面、锥面、任一条曲线的切线曲面一定是可展曲面。证明留做习题。 三 单参数曲面族的包络
定义 给出一个单参数曲面族{S?}：F(x,y,z,?)?0，其中?是参数，当?的值变化时，我们就得到族中不同的曲面S?，并且假定函数
F(x,y,?z,具有一阶与二阶的连续偏导数。如果有一个曲面S，它的每)一点是{S?}族中一个曲面S?的点，而且在S与S?的公共点它们有相同的切平面;另一方面，对{S?}族中每一个曲面S?，在曲面S上有一点P?， 使S?与 S在公共点P?有相同的切平面，则称S是单参数曲面族{S?}的包络。
例如,到z轴距离是1的平面sin?x?cos?y?1?0 ，所有这样的平面构成一个单参数? 的曲面族（实际是平面族），x2?平面族的包络。
四 单参数曲面族包络的方程
结论：设{S?}：F(x,y,z,?)?0为单参数曲面族，每个S?上的点
?F(x,y,z,?)?0都是正常点。若曲线族?
F(x,y,z,?)?0??y?1就是这
2构成曲面S，则S为{S?}包
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直纹曲面和可展曲面
