1997年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 零件的参数设计
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3 倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由七个零件的参数（记作(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)）决定，经验公式为：
y?174.42xx1(3)0.85x5x2?x1x4?0.563x1?2.62[1?0.36()]2(4)1.16x2x2
x6x7（记作y0）为1.50。当y偏离y0?0.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；y的目标值
当y偏离y0?0.3时，产品为废品，质量损失为9000（元）；
零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为?1%，B等为?5%，C等为?10%.七个零件的参数标定值的容许范围，及不同容差等级的成本（元）如下表（符号/表示五此等级零件）：
标定值容许范围 [0.075,0.125] [0.225,0.375] [0.075,0.125] [0.075,0.125] [1.125,1.875] C等 / 20 20 50 50 B等 25 50 50 100 / A等 / / 200 500 / x1 x2 x3 x4 x5
x6 x7 [12,20] [0.5625,0.935] 10 / 25 25 100 100 x2?0.3，现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，七个零件参数标定值为x1?0.1，x3?0.1，x4?0.1，x5?1.5，x6?16，x7?0.75；容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少?
B题 截断切割
某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这 里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。 设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。 试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的） 详细要求如下： 1）需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于e = 0的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、 19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组： a. r =1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 <= e <= 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
模型建立
一．符号说明
x0?(x10,x20,?,x70)：产品零件参数的标定值；xi0：第i个零件的标定值；
ai,bi：第i个零件的标定值xi0取值的上、下界； x?(x1,x2,?,x7)：产品零件参数的实际值； y0(?1.5)：产品性能参数的目标值；
f(x1,x2,?,x7)：产品性能参数的经验公式；即
y?f(x1,x2,,x7)?174.42xx1(3)0.85x5x2?x1x4?0.563x1?2.62[1?0.36()]2(4)1.16x2x2 x6x7y?f(x10,x20,?,x70)：产品性能参数的平均值；
y?f(x1,x2,?,x7)：产品性能参数的实际值；
ri(?0.01,0.05或0.10)：第i个零件的相对容差（绝对值）；
?xi：第i个零件的容差，?xi?xi0?ri；
cij： 第i个零件参数取第j个容差等级时所需成本，i?1,2,?,7；j?1,2,3
~~ 第1，2，3个容差分别表示C，B，A等级；
dij：0?1变量，i?1,2,?,7；j?1,2,3, 如果第i个零件参数取第j个容
差等级时dij取值1，否则为零；
?i：第i个零件参数（的实际值）xi的均方差；
?y：产品质量性能参数y?f(x1,x2,?,x7)（的实际值）的均方差；
C(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的生产成本； L(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的损失费用；
M(y)：产品y?f(x1,x2,?,x7)的生产成本与损失费用之总和。
二．关于零件参数的假设
在第i个零件取定其标定值为xi0后，由于在加工过程中存在许随机因素，刀具磨损，测量的误差等，因此，由中心极限定理知零件参数的实际值xi可看成是服从正态分布的随机变量，即
xi~N(xi0,?i)
并且设七个零件的加工过程是相互独立的。
概率统计学告诉我们，如果某个随机变量服从正态分布
x~N(x0,?2)
2则由“3?”原则，有
P(|X?x0|?3?)?0.997?1
0.140.120.10.080.060.040.02
0-15-10-5051015
所以，当要求第i个零件取定其标定值为xi0，第i个零件的容差为
?xi?xi0?ri，则意味着
?xi?xi0?ri?3??i
~~于是
1997年全国大学生数学建模竞赛题目A题
