选择性必修第3册 第7章
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。 2.分布列的两个性质
任何随机事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
①pi__>__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 即P(ξ≥xk)＝P(ξ＝xk)＋P(ξ＝xk＋1)＋…
0，反面向上
例.在掷一枚硬币，记ξ＝{，求ξ的分布列。
1，正面向上解： ξ p 0 0.5 1 0.5 像上面这样的分布列称为两点分布列。 3.两点分布
如果随机变量ξ的分布列为： ξ P 1 P 0 1－P 则ξ的分布列称为两点分布列，称随机变量ξ服从两点分布，而称p＝p(x＝1)为成功概率。
两点分布列的应用非常广泛，是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象，比如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿是男还是女；投篮是否命中等，都属于两点分布。
两点分布又称0-1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以还称这种分布为伯努利分布。
P(ξ＝0)＝q，P(ξ＝1)＝p，
0＜p＜1，p＋q＝1
典例讲解
题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例1.设随机变量X的分布列如下：
X P 则p＝________.
1
解析 由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p＝.
3
1答案
3例2.设随机变量ξ的分布列为P???1 1 62 1 33 1 64 p ??3?k????＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则常数a的值为________，P??＝?5?5??________.
思维启迪：直接根据分布列的性质求解．
14
答案 155解析 随机变量ξ的分布列为
ξ P
6
1 5a 2 52a 3 53a 4 54a 1 5a 选择性必修第3册 第7章
1
由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
15
43?3?4???＝P＋P＋P(ξ＝1)＝3a＋4a＋5a＝12a＝ ?????????55?5?5????或P?ξ≥3?＝1－P?ξ≤2?＝1－3a＝4?.
55???5?P?????探究提高 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
例3.已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率值依次成等差数列，求公差d的取值范围。
解：设分布列为 X P x1 a－d x2 a x3 a＋d 1
则a－d＋a＋a＋d＝1，∴a＝。
3
11?????≥0
由分布列性质，得{，∴－≤d≤，
33??+??≥011
所以公差d的取值范围是[－，]
33题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用
(1)对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
(2)利用离散型随机变量的分布列，可以求其期望和方差．
*
例4.口袋中有n(n∈N)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出
7
的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
30
(1)n的值； (2)X的分布列．
11
7C3Cn7
解析 (1)由P(X＝2)＝知1×1＝，∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．∴n＝7.
30Cn＋3Cn＋230
7771
(2)X＝1,2,3,4。且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝. 1030120120
∴X的分布列为
X 1 2 3 4 7771P 1030120120例5.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，
每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
3111
C5C2C2C22
解析 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝3＝. C103
(2)由题意知，X有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．
21122112C2C2＋C2C21C4C2＋C4C22
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝； 33
C1030C101521122112C6C2＋C6C23C8C2＋C8C28
P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 33
C1010C1015
所以随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5 7
选择性必修第3册 第7章
P 错误错误错误错误(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C， 2313
则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
151030
课时综合练
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ D）
A.两次出现的点数之和 B.两次掷出的最大点数
C.第一次减去第二次的点数差 D.抛掷的次数
2.①某座大桥一天经过的车辆数为X；② 无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为X；③一天之内的温度为X； ④某市一年内的下雨次数X。
以上问题中的X是离散型随机变量的是（ B ）
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 1.设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X的分布列是________．
答案
X 0 1 P 0.7 0.3 2.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 P 9c2－c 3－8c 则常数c＝________，P(X＝1)＝________. 11答案 33
解析 由离散型随机变量分布列的性质可知： 9c－c＋3－8c＝1??
?0≤9c－c≤1??0≤3－8c≤1
2
2
111
，解得c＝.P(X＝1)＝3－8×＝.
333
3.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜
色，写出这两次取出白球数η的分布列为_________． 答案
η 0 1 2 111P 424解析 η的所有可能值为0,1,2.
111C1C1C111C1×211C111C1
P(η＝0)＝11＝，P(η＝1)＝11＝，P(η＝2)＝11＝.
C2C24C2C22C2C24∴η的分布列为
η P 0 1 41 1 22 1 414.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k，k＝1,2，…，则P(2 2 3115A. B. C. D. 1641616答案 A 113 解析 P(2 2216 8 选择性必修第3册 第7章 5.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝值为( ) 2 A. 3 15a(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(＜X＜)的 22n(n?1)345 B. C. D. 456 111145 解析 由(＋＋＋)×a＝1.知a＝1 ∴a＝. 1×22×33×44×5541515155故P(＜X＜)＝P(1)＋P(2)＝×＋×＝. 2224646答案 D 6.随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于 1112A. B. C. D. 6323答案 D ( ) 12 解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 33 7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )． 1234A. B. C. D. 5555 12 C4C24 解析 P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－3＝. C65 答案 D 8.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为 ( )． 1272721A. B. C. D. 2205522055解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量． 12 C9C327 当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝3＝，故选C. C12220 答案 C 9 选择性必修第3册 第7章 9.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列． 解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张， 112 C4C6＋C4302 由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝. 2 C10453 2 ?或用间接法，即P＝1－C26＝1－15＝2.? ??C10453?? (2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 0211211C4C61C3C62C31C1C62 P(X＝0)＝2＝，P(X＝10)＝2＝，P(X＝20)＝2＝，P(X＝50)＝2＝， C103C105C1015C101511 C1C31 P(X＝60)＝2＝. C1015 所以X的分布列为： X 0 10 20 50 60 12121P 35151515【点评】 概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论。 10.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解析 X的取值分别为1,2,3,4. 10 选择性必修第3册 第7章 X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28. X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6. 11
7.2 离散型随机变量及其分布列 - 图文
