因式分解的常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

2222

(1) (a+b)(a-b) = a-b -----------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ---------a±2ab+b=(a±b)；

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(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b---------a+b=(a+b)(a-ab+b)；

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(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b --------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 例.已知a，b则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca 222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c

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因式分解的常用方法(方法最全最详细)

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b)

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)

2练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x?y?ax?ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x?y)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)

222例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a?2ab?b)?c =(a?b)?c

=(a?b?c)(a?b?c)

22222练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

322322综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b

22（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a 432（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by

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22（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1

22（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?2abc（11）（12）a?b?c?3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

2222333思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

2解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1

2例5、分解因式：x?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

2解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3

2 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

2例6、分解因式：x?7x?6

解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6) 1 -6

（-1）+（-6）= -7

222练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5

222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24

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