第一章 绪论(12)
1、设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差。
[解]设x*?0为x的近似值,则有相对误差为?r*(x)??,绝对误差为?*(x)??x*,从而lnx的误差为?*(lnx)?(lnx*)??(x*)?相对误差为?(lnx)?*r1*?x??, *x?*(lnx)lnx*??lnx*。
2、设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值,则有相对误差为?r*(x)?2%,绝对误差为?*(x)?2%x*,从而x的误差为?(lnx)?(x)?相对误差为?(lnx)?*rn*nx?x*?(x)?n(x)**n?12%x?2n%?x**n,
?*(lnx)(x)*n?2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:
*****?385.6,x4?7?1.0。 x1?1.1021,x2?0.031,x3?56.430,x5***?385.6有4?1.1021有5位有效数字;x2?0.0031有2位有效数字;x3[解]x1**?7?1.0有2位有效数字。 ?56.430有5位有效数字;x5位有效数字;x4****,x2,x3,x44、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中x1均为第3题所给
的数。
***?x2?x4(1)x1;
??f?********?e(x1?x2?x4)????(x)??(x)??(x)??(xk124)??x?k?1?k?[解];
111??10?4??10?3??10?3?1.05?10?3222n**x3; (2)x1*x2*??f***e*(x1x2x3)????k?1??xkn?**********??(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)?(xx)?(x)k231132123??*[解]?(0.031?385.6)1?10?4?(1.1021?385.6)1?10?3?(1.1021?0.031)1?10?3;
222?0.59768?10?3?212.48488?10?3?0.01708255?10?3?213.09964255?10?3?0.21309964255**/x4(3)x2。
??f**e*(x2/x4)????k?1??xkn*?x21***??(x)??(x)??(xk24)**2?x4(x4)?*[解]?110.031156.4611?3?3。 ??10?3???10???102256.430222(56.430)(56.430)56.4611?3?5???10?0.88654?10(56.430)225、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R允许的相对误差是多少?
4?*(?(R*)3)43[解]由1%??r*(?(R*)3)?可知,
43?(R*)33?444???*(?(R*)3)?1%??(R*)3???(R*)3??*(R*)?4?(R*)2??*(R*), 33?3??*(R*)111***?1%??从而?(R)?1%?R,故?r(R)?。 *3300R3**6、设Y0?28,按递推公式Yn?Yn?1?1783(n?1,2,?)计算到Y100,若取100783?27.982(五位有效数字,)试问计算Y100将有多大误差?
[解]令Yn表示Yn的近似值,e*(Yn)?Yn?Yn,则e*(Y0)?0,并且由
11?27.982,Yn?Yn?1??783可知, 1001001Yn?Yn?Yn?1?Yn?1??(27.982?783),即
10012e*(Yn)?e*(Yn?1)??(27.982?783)?e*(Yn?2)??(27.982?783)??,从
100100Yn?Yn?1?而e*(Y100)?e*(Y0)?(27.982?783)?783?27.982,
而783?27.982?11?10?3,所以?*(Y100)??10?3。 227、求方程x2?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783?27.982) [解]由x?28?783与783?27.982(五位有效数字)可知,
x1?28?783?28?27.982?55.982(五位有效数字)。
而x2?28?783?28?27.982?0.018,只有两位有效数字,不符合题意。 但是x2?28?783?128?783N?1N?1?1.7863?10?2。
55.9828、当N充分大时,怎样求?[解]因为?N?1N1dx? 1?x21dx?arctan(N?1)?arctanN,当N充分大时为两个相近数相21?x减,设??arctan(N?1),??arctanN,则N?1?tan?,N?tan?,从而
tan(???)?tan??tan?(N?1)?N1??2,
1?tan?tan?1?N(N?1)N?N?1因此?N?1N11。 dx?????arctan221?xN?N?19、正方形的边长大约为100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由?*((l*)2)?[(l*)2]??*(l*)?2l*?*(l*)可知,若要求?*((l*)2)?1,则
?(l)?**?*((l*)2)2l*?111?,即边长应满足l?100?。
2?10020020012gt,假定g是准确的,而对t的测量有?0.1秒的误差,证明当t2增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减少。 10、设S?[证明]因为?*(S)?(dS**)?(t)?gt*?*(t)?0.1gt*, dt?(S)?*r?*(S)S*gt*?*(t)2?*(t)1???,所以得证。 1t*5t**2g(t)211、序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1(n?1,2,?),若y0?2?1.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
精品数值分析第五版课后习题完整答案(李庆扬等)



