第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
定义 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为Δy________________，简记作：. Δx实例 ①平均速度； ②曲线割线的斜率. 1．函数的变化率 平均 变化率 瞬时 变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； 在Δx→0时的极限， ②切线斜率. Δy即_______________＝limΔx x?0Δy
2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx＝
x?0____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的 ，记为 或
Δy
即f′(x0) ＝limΔx
x?0
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不对
Δy
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δx等于( )
A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
f?x0－Δx?－f?x0?
等于 ( )
Δxx?0A．－f′(x0) B．f′(－x0) C．f′(x0) D．2f′(x0)
3
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝2处的瞬时变化率是( ) A．3 B．－3 C．2 D．－2
1
6．一物体的运动方程是s＝2at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
1
A．at0 B．－at0 C.2at0 D．2at0
1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
1
11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
x
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，
f?1?
有f(x)≥0，则的最小值为________．
f′?0?
13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
4．设f(x)在x＝x0处可导，则lim
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变
Δs
量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝Δt＝s?t0＋Δt?－s?t0?
. Δt
2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
ΔyΔyΔy
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率；0 .→0 . ΔxΔxΔx
第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念
答案
知识梳理
f?x2?－f?x1?f?x0＋Δx?－f?x0?1． Δlim x→0Δxx2－x1
f?x0＋Δx?－f?x0?f?x0＋Δx?－f?x0?
2．Δlim 导数 f′(x) y′|x＝x lim 00
x→0Δx→0ΔxΔx作业设计 1．A
2．B [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2， Δy4Δx＋2?Δx?2∴Δx＝＝4＋2Δx.] ΔxΔyf?3?－f?1?1－3
3．B [Δx＝＝2＝－1.]
3－1
f?x0－Δx?－f?x0?f?x0?－f?x0－Δx?f?x0?－f?x0－Δx?
4．A [Δlim＝lim－＝－lim＝－x→0Δx→0Δx→0ΔxΔxΔxf′(x0)．]
33f?2＋Δx?－f?2????Δy?
5．B [∵＝＝－Δx－3，
ΔxΔxΔy∴Δlim＝－3.] x→0Δx
Δss?t0＋Δt?－s?t0?1
6．A [∵＝＝aΔt＋at0，
ΔtΔt2Δs∴Δlim ＝at0.] t→0Δt7．0.41 8．1
2－1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
1－0
9．4＋Δt 4
Δvv?1＋Δt?－v?1?
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为Δt＝＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加Δt
人教a版数学【选修1-1】作业：3.1.1 3.1.2 变化率问题 导数的概念(含答案)
