课时作业4 向量的数乘运算
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是( ABD ) A．a∥b
B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a
解析：因为b＝－6e＝－3(2e)＝－3a， 所以a∥b，a，b方向相反，且3|a|＝|b|.
→→→→
2．若5AB＋3CD＝0，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是( D ) A．平行四边形 C．矩形
B．菱形 D．等腰梯形
→→→→→→→→
解析：由5AB＋3CD＝0知，AB∥CD且|AB|≠|CD|，∴此四边形为梯形．又|AD|＝|BC|，∴梯形ABCD为等腰梯形．
→1→→
3．已知点D是△ABC所在平面上一点，满足BD＝DC，则AD＝( C )
41→3→A．AB＋AC 444→1→C．AB＋AC 55
→→→→→→解析：如图，∵AD＝AB＋BD，AD＝AC＋CD，
3→1→B．AB＋AC 441→4→D．AB＋AC 55
→→→3→→→3→→8→2→→4→1→
∴2AD＝AB＋AC＋CB＝AB＋AC＋(CA＋AB)＝AB＋AC，即AD＝AB＋AC.
555555
→→
4．已知向量a与b不共线，且AB＝λa＋b(λ∈R)，AC＝a＋μb(μ∈R)，则A、B、C三点共线应满足( D )
A．λ＋μ＝2 C．λμ＝－1
B．λ－μ＝1 D．λμ＝1
→→
解析：若A，B，C三点共线，则AB＝kAC(k∈R)，
即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，
??λ＝k，所以?
?1＝μk，?
消去k得λμ＝1，故选D．
→→→5．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( B ) A．△ABC内部 C．AB边所在的直线上
→→→→→→解析：∵CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA. →→
∴CP＝λPA.∴P、A、C三点共线． ∴点P一定在AC边所在的直线上．
→→→
6．设点O在△ABC的内部，且2OA＋3OB＋4OC＝0，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为( A )
A．9 15C．
2
B．8 D．7
B．AC边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
→→→→3→→
解析：如图，延长OC到D，使得OD＝2OC，因为2OA＋3OB＋4OC＝0，所以OA＋OB＋2OC2＝0；
以OA，OD为边作平行四边形OAED，对角线交点为F，OE交AC于H，
→→因为OD＝2OC， 3→→
所以OE＝－OB，
2因为OC所以OHAE＝12， HE＝12，
3→→
所以3OH＝－OB，
2
1→→→1→
所以OH＝－OB，所以OH＝BH，
23
1
所以△AOC的面积是△ABC面积的，所以△AOC的面积为9.
3二、填空题
212
7．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝0.
5315
2122224426224解析：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋)a53155533151553152426
＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
5315
→
→→→→→|AB|
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则AB＝2BC，＝2.
→|BC|→→→
解析：因为OA－3OB＋2OC＝0， →→→→所以OB－OA＝2(OC－OB)， →|AB|→→
所以AB＝2BC，所以＝2.
→|BC|
9．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC1→→→→→→
于点M，若AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λ·AC(λ∈R)，则λ＝. 5→→→→→→
解析：如图，∵AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λAC，
→→→→→∴AM＝λ(AB＋AD)＝2λAE＋3λAF， ∵E、M、F三点共线， 1
∴2λ＋3λ＝1；∴λ＝.
5三、解答题
10．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝
CDAE1→→
＝，记BC＝a，CA＝b. DAEB2
→1
求证：DE＝(b－a)．
3
→1→1→→
证明：因为AE＝AB＝(CB－CA)
3312→2→
＝(－a－b)，AD＝AC＝－b， 333
1121→→→
所以DE＝AE－AD＝－a－b＋b＝(b－a)．
3333
→2→→→
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.
3
→→→→→
(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF. (2)证明：B，E，F三点共线．
→1→
解： (1)如图所示，延长AD到G，使AD＝AG，连接BG，CG，则四边形ABGC是平行四
2→→→
边形，则AG＝AB＋AC＝a＋b，
1→1→1
所以AD＝AG＝a＋b，
222→
AE＝AD＝a＋b.
→1→1
因为F是AC的中点，所以AF＝AC＝b.
2212→→→1
所以BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝b－a，
333
2→1
331
3
→
BF＝AF－AB＝b－a.
→1→1→2→→→
(2)证明：由(1)可知BE＝(b－2a)，BF＝(b－2a)，所以BE＝BF，即BE，BF是共线向
323
→→
1
2
量，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．
——能力提升类——
→→→→→→
12．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝( B )
A．2 C．4
B．3 D．5
解析：如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则→→→→→→→→
可得MC＋MB＝MD，又MA＋MB＋MC＝0，则AM＝MD，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，结合MD是平行四边形MBDC的对角线，可知M是△ABC的重心．以AB，AC为邻边作平行四
3→→→→→→
边形ABFC，由向量加法的平行四边形法则，可得AB＋AC＝AF＝2AE＝2×AM＝3AM，则m＝3.
2
→→→→
13．已知点P在正三角形ABC所确定的平面上，且满足PA＋PB＋PC＝AB，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为( B )
A．11 C．13
B．12 D．14
→→→→→→→→→→→
解析：∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PC＝AB－PB＝AP，∴PC＝2AP，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比为12，故选B．
14．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除
a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：
①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；
③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是②③.
解析：①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于c＝－
a－b成立，故a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，
故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，
b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故
答案为②③.
→→→
15．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.
→
(1)将AD用e，f表示； (2)证明：四边形ABCD为梯形．
→→→→
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课时作业含解析人教A版必修二
