2024-2024学年高三数学大一轮复习讲义 2.6对数与对数函数 理
新人教A版
2014高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质;2.对数方程或不等式的求解;3.考查和对数函数有关的复合函数.
复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响;2.熟练掌握对数函数的图象、性质,搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系.
1. 对数的概念
如果a=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中__a__ 叫做对数的底数,__N__叫做真数. 2. 对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN; ③logaM=nlogaM (n∈R);④logamM=logaM. (2)对数的性质
①alogaN=__N__;②logaa=__N__(a>0且a≠1). (3)对数的重要公式
logaN①换底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1);
logab1
②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.
logba3. 对数函数的图象与性质
NnnxMNnm a>1 01时,y>0 当0
当a>1且b>1或00; 当a>1且01时,logab<0. 2. 对数函数的定义域及单调性
对数函数y=logax的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论. 3. 关于对数值的大小比较
(1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0或1); (4)化同真数后利用图象比较.
x
1. (2011·江苏)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________.
?1?答案 ?-,+∞?
?2?
?1?解析 函数f(x)的定义域为?-,+∞?,
?2?
令t=2x+1 (t>0).
?1?因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在?-,+∞?上为增函数,所
?2?
以函
?1?数y=log5(2x+1)的单调增区间为?-,+∞?. ?2?
2. 函数y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx+ny+1=0
12
上(其中mn>0),则+的最小值为________.
mn答案 8
解析 y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的图象恒过点A(-2,-1),A(-2,-1)在直线mx+ny+1=0上, 即2m+n=1.
12?12?n4m∴+=?+?(2m+n)=4++≥4+24=8,
mn?mn?
2
mn当且仅当4m=n时取等号. 3
.
(2012·
安
徽
)(log29)·(log34)
等
2
于
( )
11
A. B. C.2 D.4 42答案 D
lg 9lg 42lg 3·2lg 2解析 方法一 原式=·==4.
lg 2lg 3lg 2·lg 3log24
方法二 原式=2log23·=2×2=4.
log23
4. (2012·重庆)已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关
系是 ( ) A.a=b
解析 ∵a=log23+log23=log233,b=log29-log23=log233, ∴a=b.
又∵函数y=logax(a>1)为增函数,
∴a=log233>log22=1,c=log32
5. (2011·安徽)若点(a,b)在y=lg x图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是 ( )
?1?A.?,b? B.(10a,1-b) a?
?
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