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中国教育学会中学数学教学专业委员会
2014年全国初中数学竞赛试题
一 题 号 1～5 得 分 评卷人 复查人 6～10 11 12 13 14 二 三 总 分 答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
?a?2b?3c?0，ab?bc?ca1．设非零实数a，b，c满足?则2的值为（ ）． 222a?3b?4c?0，a?b?c?1（A）?
2
（B）0
（C）
1 2（D）1
2．已知关于x的不等式组
?2x?5?3?x??5， ?x?3??t?x?2,.
恰有5个整数解，则t的取值范围是（ ）．
11 211（C）?6＜t≤?
2（A）?6＜t＜?11 211（D）?6≤t≤?
2（B）?6≤t＜?
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3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，
CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ）． ．．．
（A）OD （C）DE
（B）OE （D）AC
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC?4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．
（A）3 （C）6
（B）4 （D）8
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：
x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45?x?1???y?1?33?60，
且x?y?z??x?y??z，则2013?2012?L?3?2的值为（ ）．
（A）
607 967（B）
1821 967（C）
5463 967（D）
16389 967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．设a?3，b是a的小数部分，c是a2的小数部分，则b(b?c?4)的值
3为 ．
7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．
8．已知正整数a，b，c满足a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0，则abc的最大值为 ．
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9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方程x2?ax?b?0的两根为c，d，则所有满足条件的数组(a，，，bcd)为 ．
14?24?124?34?1994?1004?1?22?…?10．2的值为 ． 2221?2?12?3?199?100?1,.
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，抛物线y?ax2?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线
1y??x?1与y轴交于点D．求∠DBC?∠CBE．
3
12．设△ABC的外心、垂心分别为O、H，若B、C、H、O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能的度数．
2014年全国初级中学数学竞赛试题及规范标准答案
