QR(A)?2?线性方程组的解空间的维数是5-R(A)?3.
实系数多项式空间R[x]3的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.
习题5.4
1． 求向量???1,?1,2,3? 的长度. 解 ??12?(?1)2?22?32?15.
2． 求向量???1,?1,0,1?与向量???2,0,1,3?之间的距离.
解 d(?,?)?????(1?2)2?(?1?0)2?(0?1)2?(1?3)2?7. 3．求下列向量之间的夹角
（1） ???1,0,4,3?，????1,21,,?1? （2） ???1,2,2,3?，???3151,,,? （3）???1,1,1,2?，???31，，?1,0?
解（1）Q??,???1?(?1)?0?2?4?1?3?(?1)?0,?a,??（2）Q??,???1?3?2?1?2?5?3?1?18, ??12?22?22?32?18,??,??arccos18618??2.
??32?12?52?12?6,
?4.
（3）Q??,???1?3?1?1?1?(?1)?2?0?3,
??1?1?1?4?7 , ??9?1?1?0?11,
??,??arccos377.
3． 设?，?,?为n维欧氏空间中的向量，证明: d(?,?)?d(?,?)?d(?,?). 证明 因为???2????????2?(???????,???????)
?(???,???)?(???,???)?(???,???)?(???,???) ?(???,???)?2(???,???)?(???,???)
????所以???22?2???????????2?(???????)2, 从而d(?,?)?d(?,?)?d(?,?).
习题5.5
1． 在R4中，求一个单位向量使它与向量组
?1??1,1,?1,?1?，?2??1,?1,?1,1?，?3??1,?1,1,?1? 正交.
解 设向量??(x1,x2,x3,x4)与向量?1,?2,?3正交, ?(?,?1)?0? 则有 ?(?,?2)?0?(?,?)?03??x1?x2?x3?x4?0?即?x1?x2?x3?x4?0 （*）. ?x?x?x?x?0234?1齐次线性方程组(*)的一个解为 x1?x2?x3?x4?1.
1111取??(1,1,1,1), 将向量?单位化所得向量?*=(,,,)即为所求.
2222?1??1??0???????2． 将R3 的一组基?1??1?,?2??2?,?3???1?化为标准正交基.
?1??1??1???????解 (1 )正交化, 取
?1???3??1??1???1??(?,?)1?1?1?2?1?12??????? 12??????2?1??1??1??1 , 221????1?1?1?1?1?1???3?(?1,?1)?1??1??1???????????1????3??1???3???1?121?0???2???0??(?1)?(?)?1?(?,?)(?,?)??2???0? 333?3??3?13?1?23?2???1?0????122212?3??(?1,?1)(?2,?2)?1??(?)?()?(?)??1???333???1??2?????3?(2 ) 将?1,?2,?3单位化
?????1*??????1??1??1?????3?6?????2???2?1?**,???2??,?3??0? 3????6?1???1?1????????2?3?6??3
*则?1*,?2,?3*为R的一组基标准正交基.
3．求齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4?3x5?0 ?x?x?x ?x?0235?1的解空间的一组标准正交基.
分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基，所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.
解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵
?11?11?3??11?101????????
11?1010001?4????可得齐次线性方程组的一个基础解系
??1??1???1???????10?????0??1??0?,?2??1?,?3??0?.
??????00?????4??0??0??1???????由施密特正交化方法, 取
??1??1/2???1/3???????1/2??1/3??1???111?1??1??0?,?2??2??1??1?,?3??3??1??2??1/3?,
223??????004???????0??0??1???????将?1,?2,?3单位化得单位正交向量组
??1??1/2???1/3???????1?1/2??1/3????123*?0?,?2?1?,?3*??1/3? ?1*????2??6?213?004???????0??0??1???????
*因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以?1*,?2,
?3*是解空间的一组标准正交基.
3． 设?1,?2 ,… ,?n 是n维实列向量空间Rn 中的一组标准正交基, A是n阶正交矩阵,证明: A?1,A?2 ,… ,A?n 也是Rn 中的一组标准正交基．
证明 因为?1,?2,?,?n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基, 所以
i?j?0 (i,j?1,2,L,n). (?i,?j)??iT?j??1 i?j?又因为A是n阶正交矩阵, 所以ATA?E. 则
i?j?0 (i,j?1,2,L,n) (A?i,A?j)?(A?i)T(A?j)??iT(ATA)?j??iT?j??i?j?1 故A?1,A?2,?,A?n也是Rn中的一组标准正交基. 5．设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组标准正交基, 证明
?1?(2?1?2?2??3),?2?(2?1??2?2?3),?3?(?1?2?2?2?3)
也是V的一组标准正交基. 证明 由题知
?221?1?? ??1,?2,?3????1,?2,?3??2?1?2?
3????12?2??221?1??因为?1,?2,?3是一组标准正交基,且?2?1?2?的行向量组是单位正交向量组.3????12?2??221?1??所以??1,?2,?3?和?2?1?2?都是正交矩阵.
3????12?2?131313从而??1,?2,?3?也是正交矩阵.
所以?1,?2,?3是单位正交向量组, 构成V的一组标准正交基.
习题五
(A)
一、填空题
1．当k满足 时，?1??1,2,1?,?2??2,3,k?,?1??3,k,3?为R3的一组基. 解 三个三维向量为R3的一组基的充要条件是?1,?2,?3?0, 即k?2且k?6. 2．由向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为 .
解 向量???1,2,3?所生成的子空间的维数为向量组?的秩, 故答案为1.
3．R3中的向量???3,7,1?在基?1??1,3,5?,?2??6,3,2?,?3??3,1,0?下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.
设所求坐标为(x1,x2,x3), 据题意有??x1?1?x2?2?x3?3. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算
?361M3??100M154??初等行变换??133M7?????010M?82??3,?2,?1????????， ?025M1??001M33?????所以(x1,x2,x3)= (33,-82,154). 4.
R3中的基?1,?2,?3到基?1???2,1,3?,?2???1,0,1?,?3???2,?5,?1?的过渡矩阵为 .
??2?1?2???2?1?2?????解 因为(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?10?5?, 所以过渡矩阵为?10?5?.
?31?1??31?1?????5. 正交矩阵A的行列式为 . 解 ATA?E?A?1?A??1.
6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.
7.已知?1??2,1,1,1?,?2??2,1,a,a?,?3??3,2,1,a?,?4??4,3,2,1?不是R4的基且a?1,则a满
2足 .
第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
