习题5. 1
1． 判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是．
因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.
2．全体正实数R, 其加法与数乘定义为 a?b?ab koa?ak 其中a,b?R?,k?R+
判断R按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设?,??R.
因为?a,b?R?a?b?ab?R,
??+
???R,a?R???oa?a??R?,
所以R?对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a?b?ab?ba?b?a; (2)
(a?b)?c?(ab)?c?(ab)c?abc?a(bc)?a?(b?c);
(3) R?中存在零元素1, ?a?R?, 有a?1?a?1?a;
(4) 对R?中任一元素a，存在负元素a?1?Rn, 使a?a?1?aa?1?1;
????????oa;
(5)1oa?a1?a; (6)?o??oa???oa?????a??a??(7) ?????oa?a????a?a??a??a???oa??oa;
?(8)?o(a?b)??o(ab)??ab???a?b??a??b???oa??ob.
所以R对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n阶矩阵，其加法定义为
A?B?AB?BA
+
按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.
QA?B?AB?BA,B?A?BA?AB??(AB?BA)
?A?B与B?A不一定相等.
故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.
4．在P2?2中，W??A/A?0,A?P2?2?,判断W是否是P2?2的子空间. 答 否.
?12??11??23?和的行列式都为零，但 例如??????的行列式不为零, 也就是说集合对加法123345??????不封闭.
习题5.2
1．讨论P2?2中
?a1??1a??11??11?A1??,A?,A?,A??2??3??4??
1111a11a????????的线性相关性.
解 设x1A1?x2A2?x3A3?x4A4?O, ?ax1?x2?x3?x4?x?ax?x?x?1234 即??x1?x2?ax3?x4??x1?x2?x3?ax4?0?0 . 由系数行列式?0?0a1111a1111a111?(a?3)(a?1)3 1a知, a??3且a?1 时, 方程组只有零解, 这组向量线性无关； a??3 或 a?1 时, 方程组有非零解, 这组向量线性相关. 2．在R4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标.其中
?0??1??2??1??0???????????01111????，?1=??，?2=??，?3=??，?4???
?0??0??3??0???1????????????1??1??1??0???1?解 设??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4
?1?1M?????0??1213110110?10?1MMMM0??1??0?初等行变换?0??????00???1??0010000100001MMMM1??0? ?1??0?由??1?2?3?4
得???1??3. 故向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).
?23??11??0-1??1-1??10?3.在P2?2中求???在基?=，?=，?=，?=?????下的坐标. 1?2?3?4?4?711100000??????????解 设??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4
?x1?0x2?x3?x4?2?x?x?x?0x?3?1234则有?.
x?x?0x?0x?4234?1??x1?0x2?0x3?0x4??7?101?1?1?1由??110??1001000MMMM2??1??3?初等行变换?0??????04????7??0010000100001MMMM?7??11? ?21??30?得???7?1?11?2?21?3?30?4.故向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为（-7，11，-21，30）. 4．已知R3的两组基
?1??1??1???????（Ⅰ）： ?1=?1?，?2=?0?，?3=?0?
?1??-1??1????????1??2??3???????（Ⅱ）：?1=?2?，?2=?3?，?3=?4?
?1??4??3???????（1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵；
?1???（2） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?0?,求?在基?1,?2,?3下的坐标；
?-1????1???（3） 已知向量?在基?1,?2,?3下的坐标为?-1?,求?在基?1,?2,?3下的坐标;
?2???（4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量?.
解（1）设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ??1,?2,?3????1,?2,?3? C
?123??111?????即?234???100?C, ?143??1?11?????
?111??123??234??????知基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为C???100??234???0?10?.
?1?11??143???10?1????????1?1??2?（2）首先计算得C?1??0?1??232?13?2??2??0?, ?1???3??1??2?????于是? 在基?1,?2,?3 下的坐标为C?1?0???0?.
??1??1???????2??1??7?????（3）? 在基?1,?2,?3 下的坐标为C??1???1?.
?2???3??????y1??234?????在基?1,?2,?3 下的坐标为?y2?, 据题意有?0?10???10?1??y????3??y1???y1?????y??y22????, ?y???y??3??3? (4) 设??y1??0????? 解此方程组可得?y2?=k?4?，k为任意常数.
??3??y????3???1??? ???4k?2?3k?3?k?0?,k为任意常数.
?7???5．已知P[x]4的两组基
（Ⅰ）：f1(x)?1?x?x2?x3，f2(x)??x?x2，f3(x)?1?x，f4(x)?1
（Ⅱ）：g1(x)?x?x2?x3，g2(x)?1?x2?x3，g3(x)?1?x?x3，g4(x)?1?x?x2 （1） 求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵； （2） 求在两组基下有相同坐标的多项式f(x).
解 ( 1 ) 设C是由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵, 由 ?g1,g2,g3,g4???f1,f2,f3,f4?C
??0111??1011?有(1,x,x2,x3)?1011?0????2?1?1??1101??(1,x,x，x3)?1?1100?C. ?1110????1000????1011M0111?000M1110?Q?1?1?10M1011??0M00?1????110?1100 M 1101?????初等行变换??0?010 1?M 011?2? ?1000M1110?0???0001M?1?1?13????1110??C??00?11???.?011?2? ??1?1?13??（2）设多项式f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(x1,x2,x3,x4)T.
??x1??据题意有 C?x??x1????x1??2xx2???x??2??(C?E)???0 （*）
3??x3??x3?x??????4??x4??x4?0110因为C?E?0?1?11110110010?2??1?11?001?1
?1?1?1210?210?2所以方程组（*）只有零解，则f(x)在基（Ⅰ）下的坐标为(0,0,0,0)T ，所以f(x) = 0 习题5.3
证明线性方程组
??3x1?x2?6x3?4x4?2x5?0?2x1?2x2?3x3?5x4?3x5?0 ??x1?5x2?6x3?8x4?6x5?0的解空间与实系数多项式空间R[x]3同构.
证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.
?31?6?42??1?5?A???22?3?53?68?6?初等行变换????????04375??
??1?5?68?6????00000??
第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
