下学期期末考试
《高等数学AⅡ》 （试卷编号：A）
参考答案与评分标准
一、填空题（本大题共10小题10空，每空2 分，共 20分）
x?1y?2zx?4y?1z?3o1.?4 2. 3. 45 ??或??31331312224.(x?1)?(y?3)?(z?2)?14 5. (1,2,2) 6.
4127. 2xsin2ydx?2xcos2ydy 8. 9. P?1
2(2x)2(2x)n?L??L 10. 1?2x?2!n!二、单项选择题（选择正确答案的字母填入下表，本大题共6小题，每小题3 分，共18 分）
1.C 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B
三、判断题：（本大题5小题，在括号内正确的打“√”，错误的打“×”，每小题2分，
共10分）
1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√
四、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
1. 求函数z?x?ln(xy)当x?1,y?1时的全微分dz. 解：
y?z1?z?yxy?1?， ?2……………..…..…(2分) ?xx?x(1.1)?z1?z?xylnx?， ?1………………….…(2分) ?yy?y(1.1)所以 dz(1.1)?2dx?dy…………………………………….……(2分)
?2z2. 设z?e(cosy?xsiny)，求二阶偏导数2.
?yx解：
?z?ex(?siny?xcosy)……………………………..…………(3分) ?y?2zx?e(?cosy?xsiny)…………………………..……..……(3分) 2?y第 1 页 （共 3 页）
3.计算
23y?x，其中D是由抛物线及直线y?x所围成的闭区域。 xyd???D解一：把区域D视为X—型区域， 解二：把区域D视为Y—型区域
??xyd? ??xyd?
DD33??dx?2xydy…………(3分)
ox1x3
??dy?o1yyxy3dx…………..…(3分)
1159114??(x?x)dx??(y?y5)dy
2o4o11………………………(3分) ?………………..……….…(3分) ?6060 4.计算域。
解 积分区域?在xoy坐标面上的投影区域为Dxy:x?y?8， 利用柱面坐标，得
222222x?y?8与平面z?0，z?3所围成的闭区，其中是由圆柱面(x?y)dv????????(x?2?y)dv??22?0d??220rdr?dz………….…….……(4分)
033
122 ?3?2??[r4]04?96?………………..………(2分)
xn5. 求幂级数?的收敛半径和收敛域。 nn?3n?11 an?11(n?1)?3n?1?lim?.…………….………(2分) 解：因为??limn??an??13nnn?3?所以收敛半径R?1??3………….………(1分)
?(?1)n又因为当x??3时，级数成为?，此级数收敛. .…………….………(1分)
nn?1当x?3时，级数成为
1，此级数发散. ……….…….……(1分) ?n?1n?所以收敛域为[?3,3).……………………(1分)
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五、应用与证明 (本大题共3小题，第1、2小题每题7分，第3小题8分，共22分)
1. 求曲面e?z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程。 解：设F(x,y,z)?e?z?xy?3……………………….………(1分) 则曲面在点(2,1,0)处的切平面的法向量为：
zzrn?(Fx,Fy,Fz)(2,1,0)?(y,x,ez?1)(2,1,0)?(1,2,0)………….…(2分)
所以曲面在点(2,1,0)处的切平面方程为：
1?(x?2)?2?(y?1)?0, 即x?2y?4?0……...….………(2分)
法线方程为：
x?2y?1z??…………………..（2分） 1202.要修建一个表面积为36m的长方体水箱（有盖），问长、宽、高各取怎样的尺寸时，水箱的体积最大，最大体积是多少？
解：设水箱的长、宽、高各为x、y、z，则 水箱的表面积可表示为：2xy?2yz?2zx?36 (附加条件) 水箱的体积：v?xyz………………..(2分)
作拉格朗日函数：L(x,y,z)?xyz??(2xy?2yz?2zx?36)
2?Lx?yz?2?(y?z)?0?L?xz?2?(x?z)?0?y由方程组?………….…………….…………(3分)
L?xy?2?(x?y)?0?z??2xy?2yz?2zx?36 解得x?y?z?6（驻点唯一）.
所以当长、宽、高都等于6时，即水箱为正方体时，水箱的体积最大为66…….…(2分) 3.设z?xy?xF(u)，而u?
?z?zy
?y?z?xy. ，F(u)为可导函数，证明：x?x?yx
证明：因为
?z?uy?y?F(u)?xF?(u)??y?F(u)?F?(u)….…………….(3分) ?x?xx?z?u?x?xF?(u)??x?F?(u)………………………………..………(3分) ?y?y所以 x?z?z?y?[xy?xF(u)]?xy?z?xy. …………..….………(2分) ?x?y第 3 页 （共 3 页）
2016-2017(下)《高等数学AⅡ》期末试卷-A卷答案 (1)
