所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
专题5.3 平面向量的数量积
【基础巩固】
一、填空题
1．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________. 2
【答案】－
3
2
【解析】由题意，得a·b＝0?x＋2(x＋1)＝0?x＝－.
3
2．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________． π
【答案】
6
3．(2017·镇江期末)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________. 【答案】5 【解析】|a－b|＝
a－b2
＝a－2a·b＋b＝1＋4＝5.
22
4．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a·b|≤|a||b|；②|a－b|≤||a|－|b||； ③(a＋b)＝|a＋b|；④(a＋b)·(a－b)＝a－b. 【答案】②
【解析】对于①，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于②，当a，b均为
2
2
2
2
非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝________. 【答案】5
1－2
【解析】∵a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴|b|＝
x2
－1
2
＋2＝5.
2
→→
6．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，→→
则AD·AC＝________. 【答案】5
→→→
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
→→
－1)．∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.
7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________． 2π
【答案】
3
【解析】因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|，设a与b的夹角为
2
a·b－2|a|212π
θ，则cos θ＝＝. 2＝－，又0≤θ≤π，所以θ＝
|a||b|4|a|23
→→→
8．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
?31??1?【答案】?－，?∪?，＋∞? ?42??2?
二、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；
→→
(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积． 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
10．(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－
B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影． 3
解 (1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
53
所以cos A＝－.因为0 5所以sin A＝1－cosA＝ 2 35 ?3?241－?－?＝. ?5?5 b(2)由正弦定理，得＝， sin Asin B45×5bsin A2 则sin B＝＝＝， a422 π 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝. 4 a?3?222 由余弦定理得(42)＝5＋c－2×5c×?－?， ?5? 解得c＝1，c＝－7舍去， 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 22→→→ 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22 【能力提升】 11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，→→→→→→ 交BC于点Q.若|AB|＝3，|AC|＝5，则(AP＋AQ)·(AB－AC)的值为________． 【答案】－16 →→→→→→→→→→→→→→2 【解析】(AP＋AQ)·(AB－AC)＝(2AQ＋QP)·CB＝2AQ·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|－→222 |AC|＝3－5＝－16. 1 12．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值 3为________． 【答案】－4 【解析】∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋32122 |n|＝0，由已知得t×|n|×＋|n|＝0，解得t＝－4. 43 13．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，→→ 则|PA＋3PB|的最小值为________． 【答案】5 2 14．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4 所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 →→→ 的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)． 2→ (1)若m＝n＝，求|OP|； 3 (2)用x， y表示m－n，并求m－n的最大值． 2→→ 解 (1)∵m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)， 3 同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5
(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积练
