二元一次不等式（组）与平面区域教学设计
建瓯一中 陈朔陶
一、教材分析
本节课是新教材必修5第三章3.3.1节的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。
二、教学目标分析
1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准
确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；
3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，
增强数学的情感体验，提高创新意识。
三﹑教学的重点、难点
1、教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域；
2、教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；
四、教法与学法指导及教学手段
1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等；
2、学法指导： 这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行
尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。
３、教学手段：采用坐标纸让学生动手操作，利用多媒体技术优化课堂教学。
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五、教学过程设计
教学环节 说师生互动 明 创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标，引出概念 教 学 内 容 一、 创导 设入 情新 境课 1.建立二元一次不等式模型 【多媒体展示】 北京08年奥运会的主体育场“鸟巢”，它的外形结构是由许多巨大的钢架够成的，在当时为了按期完工，每天至少需要50根高质量的钢柱，已知只有两个厂有能力生产这样的钢柱，一号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是10根和8根，但是两个厂每天总共能投入生产的车间至少6间，那么两个钢厂各提供多少车间才能满足每天的需求呢？ 【学生解答】 解：设一号钢厂提供x间车间，二号钢厂提供y间车间 ?x?y?6? 则?10x?8y?50 ?x,y?N? 师：大家知道“鸟巢”吗？请看多媒体的展示，这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它呢？ 生：解答 明确概念,为探究实验做准备 二，引入概念 师：刚才列出的不等式有什么特点？ 生：两个未知数，未知数的次数是1. 2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 师:我们把这个不等（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高式称为什么? 次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 生:二元一次不等式 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等师:这里有两个二元式组称为二元一次不等式组。 一次不等式,所以这（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）个式子称为二元一的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数次不等式组. 对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 师：二元一次不等 式的解集具备什么条件？可以用什么来表示？ 生：用序实数对（x,y） 2 / 7
三、 猜构 想建 探新 索知 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 【共同探究】 从特殊到一般： 先研究具体的二元一次不等式x?y?6 如图：在平面直角坐标系内，x?y?6?0表示一条直线（学生在坐标纸上作图）。平面内所有的点被直线分成三类：直线上的点, 直线右上方, 直线左下方 y 6 54 3 2 1 x0123456 x?y?6?0 坐标满足x?y?6?0：（1,5），（2，4），（3,3）， 坐标满足x?y?6?0：（1,6）,(2,5),(3,4), 坐标满足x?y?6?0：(1,4),(2,3),(3,2), 【学生尝试】 把刚才列出的点描在坐标系内，观察。 【展示成果】 坐标满足x?y?6?0的点在直线的右上方 坐标满足x?y?6?0的点在直线的左下方 【提问1】 直线右上方的点坐标是否满足x?y?6?0 直线左下方的点坐标是否满足x?y?6?0 【探究实验】 利用几何画板 表示什么图形?生: 直线 师:请同学们在坐标 纸上作出这条直线. 这条直线把直角坐 标系上的点分成了 几类?如何描述 生:三类,在直线上, 直线的右上方,直线 的左下方 师:直线上的点坐标 一定满足通过x?y?6?0。请举几数学个例子。 实验，生: （1,5），（2，4），为感（3,3）， 性认师：坐标满足识上升为x?y?6?0的点理性有哪些呢？ 认识生：（1,6）,(2,5),(3,4), 打好师：坐标满足基础。 x?y?6?0的点 (1,4),(2,3),(3,2) 师：他们落在坐标 平面内的哪些区域 呢？请你们把这些 点描在你们所作出 的坐标系内。 学生展示成果 师：你们发现了点与直线的位置关系式怎样的？ 生：（1,6）,(2,5),(3,4)在直线的右上方； (1,4),(2,3),(3,2) 在直线的左下方 师：直线右上方的师: x?y?6?0 3 / 7
三、 猜构 想建 探新 索知 点坐标是否满足P (x0,y0) x0?y0?6?0 x?y?6?0？ 用几何画板做实验 生：直线的右上方的点坐标满足x?y?6?0【总结】 x?y?6?0。 师：x?y?6?0表示直线右上方的平面区域。 x?y?6?0表示直线右上方的平面区域。 x?y?6?0表示直线左下方的平面区域。 x?y?6?0表示直线是两区域的边界。 【提问2】 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0上方的区域吗？ 【举例验证】 x?y?6?0表示直线左下方的平面区域。 x?y?6?0表示直线是两区域的边界。 师：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表y x-y-6=0 示直线Ax+By+C＝0上方的区域吗？ 生1:是；生2:不是。 x 师：说不是的那位同学请你举个例子。 生：比如直线x-y-6＝0直线上方的点 (0,0)，(1,0)使 (0,0) 0-0-6<0 (1,0) 1-0-6<0 (6,-1) 6+1-6>0 x-y-6<0 直线下方 的点(6,-1) 使得【一般结论】一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直x-y-6>0 角坐标系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区师：由此说明二元域。我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线；不等式一次不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域，包括边界直线，应把边界直Ax+By+C>0在平面线画成实线。 直角坐标系中表示【结论】 直线同侧点同号. 直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。 4 / 7
四﹑练习反馈 五，探索新知 4.练习反馈 强调：直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点 (x，y) 把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同，所以在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)代入，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 例1 画出不等式x?4y?4表示的平面区域。 解：先画直线x?4y?4（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在x?4y?4表示的平面区域内，不等式x?4y?4表示的区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C?0时，常把原点作为此特殊点。 变式1、画出不等式4x?3y?12表示的平面区域。 变式2、画出不等式x?1所表示的平面区域。 概括：“直线定界，取点定域”，特别地，当C≠0时，常把原点作为特殊点。 5.探索新知 【例题示范１】（利用口诀“直线定界，取点定域”） 画出不等式2x+y－6<0表示的平面区域。 （强调画图规范和注意点） 变式一：指出不等式-2x+y－6<0表示的平面区域； 变式二：指出不等式2x－y－6≥0表示的平面区域； 变式三：指出不等式-2x－y－6≥0表示的平面区域。 …… 规律：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0）当A >0时，Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方， Ax+By+C<0表示平面在直线Ax+By+C=0的左方。 概括： “系数化正、左小右大”，系数指x前系数A， “左（右）”指平面区域的左（右）方，“小（大）”指不等式的小于（大于）号。 5 / 7
师：直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点 (x，y) 把它的坐标代入Ax+By+C所得到的实数符号相同，所以在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)代入，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。 生：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当常把原点C?0时，作为此特殊点。 通过练习，加强学生的认知结构， 得到规律，概括为口诀，便于操作。 师：从上面判断过程中能得到什么新规律，使区域的判断更方便呢？ 生：从不等号方向和A的正负考虑 生：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0）当A >0时，Ax+By+C>0表示平面区域在直线Ax+By+C=0的右方， Ax+By+C<0表示平面在直线 给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），
二元一次不等式组与平面区域教学设计
