全等三角形证明经典50题(含答案)

9. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

A 1 2 B E C F D

证明：连接BF和EF。

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。 ∴ ∠EBF=∠BEF。 又∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。 ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

10. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

A 1 2 F C D E B

过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD

EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG

∴EF＝AC

11. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

A B D C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

12. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB

∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC 又∵AC＝AC

∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE

∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE

∵AB//CD

∴∠A+∠D=180o

∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE

又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

E D C F A B

AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE， ∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得：AE=BD， ∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC， ∴∠F=∠C。

14. 已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

A D B C

证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： △AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD

∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量） ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.

15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

C A

P B D

在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。

16. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，