习题五
1.一颗骰子连续掷
4 次，点数总和记为
X.估计 P{10< X<18}.
4
【解】设 X i 表每次掷的点数，则
X
X i
i 1
E ( X 1 i
) 11
21
31
4
51 1 7
6
,
6
6
6 6
6
6
2
E ( X i 2 )
121
221
32 1
42 1
521
621
9 1 ,
6
6
6
6
6
6
6
从而
D ( X i ) E ( X i2 ) [ E ( X i )] 2
91
2
7 35 .
6
2
12
又 X1,X2 ,X3,X 4 独立同分布 .
4 4
从而 E(X)X
E (
i )
E ( X i )7
4
14,
i 1
i 1
2
4
4
35 35
D(X)
D (
X i )
D ( X i )
4
.
i 1
i 1
12
3
35/3
所以
P{10 X
18} P {X|
14 | 4}421
0.271,
2. 假设一条生产线生产的产品合格率是 0.8.要使一批产品的合格率达到在 76%与 84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
1
1,若 第 i 个 产 品 是 合 格 品 ,
【解】 令 X i
0,其他情形.
n
而至少要生产 n 件，则 i=1,2, ?,n且 现要求 n,使得
X1，X2， ? ， Xn 独立同分布， p=P{ Xi=1}=0.8.
i 1
X i n
n
P {0.76
0.84}
0.9.
即
P{
0.76 n 0.8 n
X i 0.8 n
i 1
0.84 n
0.8 n 0.2
} 0.9
n 0.8 0.2
n 0.8 0.2
n 0.8
由中心极限定理得
0.84 n
0.8 n
0.76 n 0.8 n
0.9,
0.16 n
0.16 n
整理得
n 10
0.95, 查表
n 10
1.64,
n≥ 268.96, 故取 n=269.
3. 某车间有同型号机床 200 部，每部机床开动的概率为
能才可以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
【解】要确定最低的供应的电能量，
0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能
15 个单位 .问至少供应多少单位电
应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m，而 m 要满足 200 部机床中同时开动的机床数目不超过 m 的概率为 95%,
2
于是我们只要供应
15m 单位电能就可满足要求 .令 X 表同时开动机床数目，则 X~B（ 200， 0.7）,
E(X) 140, D(X) 42,
0.95P {0X m } P ( X m )m
140
.
42
查表知 m 140
1.64,
,m=151.
42
所以供电能 151×15=2265（单位） .
4. 一加法器同时收到
20 个噪声电压 Vk（k=1， 2， ?， 20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（
＞ 105} 的近似值 .
100
【解】 易知 :E( Vk)=5,D(Vk)=
,k=1,2, ? ,20
12
由中心极限定理知，随机变量
20
Vk 20 5
k 1
V205
近 似 的
Z
100 20100
~ N (0,1).
20
12
12
0，10）上服从均匀分布
20
.记 V=
V k k
1
P{ V
3
，求
于是 P{ V 105} PV205 105 20 5
100
2010
20
12
12
V
100
P
0.387
1
(0.387)
0.348,
10
20
12
即有
P{ V>105}≈0.348
5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中
80%的长度不小于
3m. 现从这批木柱中随机地取出
100 根，问其中至少有
30 根短于 3m 的概率是多少？
【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m，则 X ~B （100， 0.2
从而
P{ X
30}
1 P{X 30}
130 100 0.2
100
0.2
0.8
1 (2.5) 1 0.9938 0 .
6. 某药厂断言， 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为
0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人， 如果其中多于 就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.
（ 1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？ （ 2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是
0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 1, 第 i 人 治愈 ,
【解】 X i 1, 2, i
,100.
0,
其 他 .
75 人治愈，4
100
令 X
X i .
i 1
(1) X ~B(100,0.8) ，
100
75
100 0.8 P { X i
75} 1
P { X
75}
1
i
1
100
0.8
0.2
1 ( 1.25)
(1.25)
0 .
(2) X ~B(100,0.7) ，
100
75
100 0.7 P { X i
75} 1
P { X
75}
1
i
1
100
0.7
0.3
1() 15
(1.09)
0.1379.
21
7. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取
1000 件，其中有 20 件废品的概率 .【解】 令 1000 件中废品数 X ，则
p=0.05, n=1000,X~B (1000,0.05)，
E(X)=50 ， D( X)=47.5.
故
1
1
30
P{ X
20}20 50
47.5
47.5
6.895
6.895
1
3 0
6
4 . 5 1 0 .
6.895
6.895
5
《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)5
