椭圆与双曲线的一条性质应用
2性质：已知P是曲线(椭圆或双曲线)上一点，M,N是曲线上关于原点对称的两点，则kPM?kPN?e?1(焦点在x轴上)或
1(焦点在y轴上). 2e?1以双曲线为例证明：
x2y2(一)焦点在x轴上：设双曲线方程为2?2?1?a?0,b?0?
ab设P?x1,y1?，M?x2,y2?，N??x2,?y2?，
?x12y12??1?y12?y22b2?a2b2则有?，相减得2?2. 222x?xa12?x2?y2?1??a2b2y1?y2y1?y2y12?y22b2c2?a22所以kPM?kPN???2???e?1. 222x1?x2x1?x2x1?x2aay2x2(二) 焦点在y轴上：设双曲线方程为2?2?1?a?0,b?0?
ab设P?x1,y1?，M?x2,y2?，N??x2,?y2?，
?y12x12??1?y12?y22a2?a2b2则有?，相减得2?2. 222x1?x2b?y2?x2?1??a2b2y1?y2y1?y2y12?y22a2a21所以kPM?kPN?. ??2???22222x1?x2x1?x2x1?x2bc?ae?1【例1】已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心
率为( )
A.5 B.2 C.3 D.2 [解析]如图所示，?BAM??BMA?30，?ABM?120， ∴kMA?kMB?tan30?tan60?即e?1?1，解得e?[答案] D
2?????3?3?1， 32. x2y2【例2】已知A,B,P是双曲线2?2?1上的不同三点，且AB连线经过坐标原点，
ab2若直线PA,PB的斜率乘积kPA?kPB?，则该双曲线的离心率e?( )
351510A. B. C. D.2 2321522[解析]由kPA?kPB?e?1?，解得e?.
33[答案] B
x2y2??1的上、下顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是??2,?1?，那【例3】椭圆C:43么直线PA1斜率的取值范围是_________.
[解析]由kPA1?kPA2?e2?1?[答案] ?,?
8413?1??，得kPA1443?33??4??,?. kPA2?84???33???x2y2??1，直线AB的斜率k1?1，则直线AD的斜率k2?( ) 【例4】平行四边形ABCD内接于椭圆42111A. B.? C.? D.?2 224[解析]平行四边形是中心对称图形，则B,D关于原点对称，
1112所以k1?k2?e?1??1??，由k1?1可知k2??.
222[答案] B
x2y2【例5】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，A,B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足
ab?MAB?30?，?MBA?45?，设椭圆C的离心率为e，则e2?____________.
33322???1???[解析]由性质可知，e?1?kMA?kMB?，所以e?1?. 3333[答案] 1?
3x2y2【例6】已知椭圆2?2?1?a?b?0?短轴的端点为P?0,b?，Q?0,?b?，长轴的一个端点为M，AB为经过
ab1椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA,PB的斜率之积等于?，则P到直线QM的距离为_________.
432ab2?2b?b4522[解析]由性质可知e?，则a?4b.所以d???b.
222225a?b4b?b[答案]45b 5x2y23【例7】如图，已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，
2ab且异于点A,B，直线AP,BP与直线l:y??2分别交于点M,N，且?ABP面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求线段MN的长的最小值．
[解析](1)当P为左右顶点时，S?ABP最大，得ab?2，
c3?，解得a?2,b?1. a2x2?y2?1. 故椭圆的标准方程为4(2)由题设可以得到直线AP的方程为y?1?k1?x?0?，
又
直线BP的方程为y???1??k2?x?0?.
31???y?1?k1x?x???y?1?k2x?x??k1；由?k2. 由?得?得??y??2?y??2?y??2?y??2???3??1?31?∴直线AP与直线l的交点为M??,?2?，直线BP与直线l的交点为N??,?2?，∴MN?.
kkkk?1??2?12设P?x0,y0?，则直线AP的斜率为k1?y0?1y?1，BP的斜率为k2?0， x0x0x02?y02?1?x0?0?， 又点P在椭圆上，所以4y0?1y0?1y02?11从而有：k1?k2?. ????2x0x0x04∴MN?31333???4k1??4k1?2?4k1?43. k1k2k1k1k133时取等号，故线段MN长的最小值是43． ?4k1，即k1??2k1当且仅当
椭圆与双曲线的一条性质应用
