课题名称：17.1勾股定理的证明
创新整合点
本节课采用探究发现式教学，借助几何画板及多媒体动态教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程. 教材分析
这节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级（下）教材《勾股定理》第一节的内容。勾股定理的内容是全章内容的重点、难点，它的地位作用体现在以下三个方面：
1.勾股定理是学习锐角三角函数与解直角三角形的基础，学生只有正确掌握了勾股定理的内容，才能熟练地运用它去解决生活中的测量问题.
2.本章“勾股定理”的内容在本册书中占有十分重要的地位，它是学习斜三角形、三角函数的基础，在知识结构上它起到了承上启下的作用，为学生的终生学习奠定良好的基础.
3.解直角三角形内容在航空、航海、工程建筑、机械制造、工农业生产等各个方面都有着广泛的应用，并与生活息息相关. 学情分析
学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望. 教学目标：
知识与技能：能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用. 过程与方法：经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心. 教学重点：勾股定理的内容及证明 教学难点：勾股定理的探究与证明
教学方法：创设情景---观察思考----分析讨论---归纳总结----得出结论 课时安排：一课时 教学过程： 一．导入新课
这节课，我将与你们一起探究人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理的相关知识。
问题1：如图，校园里有一块长方形草坪（尺寸如图所示），大部分学生为了避开草坪，均沿A到C再到B的路线行走，而也有小部分同学为了走捷径，直接从A穿过草坪到Ｂ，请问，这小部分同学少走了多长的路呢？
数学教育家波利亚说过：如果我们不能解决像问题１这样的
一般问题，能不能先解决一个特殊问题呢？ 二．合作探究 探究一：
问题２：已知ΔABC为等腰直角三角形，∠C=900，两条直角边长为a，求其斜边c的长.
我们可以利用等面积法，过点C作斜边AB的高，因为ΔABC是等腰直角三角形，所以高为斜边AB的一半，那么ΔABC的面积
11AB可以表示为BC?AC，也可以表示为AB?，代值，求出
222c=2a.
AacCaB请大家观察2a2=c2，可以变形为a2+a2=c2.对这个等式，大家能够联想到什么呢？a2可以理解为边长为a的正方形的面积，c2可以理解为边长为c的正方形的面积.如图所示，则a2+a2=c2可以理解为以等腰直角三角形的两条直角边
a为边长的两个正方形面积之和等于以其斜边c为边长的正方形面积.记作
SA+SB=SC.等腰三角形有这样的一种关系，一般地直角三角形有这样的关系吗？
设计意图：让学生直接发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度.从特殊到一般也是初中数学很重要的一个思想，探究一的设计让学生在特殊的情况下通过等面积法而得到以等腰直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系，由此很自然猜想以一般直角三角形三边为边长的正方形面积之间的关系. 探究二：
问题3：这是一个由边长为1的小正方形组成的网格图，在网格图上画一个顶点都在格点上的直角三角形，现在分别以直角三角形的三边为边长向外做三个正方形，正方形A，B，C的面积各是多少呢？
正方形A中有9个小方格，即A的面积是9，而B的面积
是16，正方形C中含有多少个小方格呢？能不能马上数出来呢？不能.那你有什么办法计算正方形C的面积呢？
第一种 补全法
在C的周围补上四个全等的直角三角形，形成边长为7的大正方形.正方形C的面积可以看成大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，等于25.
第二种 切割法
把正方形C分割成一个小正方形和四个全等的直角三角形，正方形C的面积就等于它们的和，等于25.
通过补全法和切割法，我们都可以得到正方形C的面积为25，那么正方形A，B，C的面积之间有什么关系呢？
发现9+16=25，所以A,B的面积之和等于C的面积.
至此，我们在网格中验证了在直角三角形中，两条直角边上的正方形面积之
和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC这个结论仍然成立.
设计意图：计算正方形C的面积是一个难点，因此鼓励学生尝试从不同角度去解决问题，通过探索，使教学从封闭走向开放，给学生以主动思考的空间，使学生享受主动探索的乐趣.
问题4：去掉网格结论会改变吗？我们可以借助几何画板来动态演示. 我们发现，当直角三角形两条直角边的长度发生变化时，正方形A与正方形B的面积之和始终等于正方形C. 的面积.
问题5：请继续观察，如果我们把直角三角形的两条直角边设为a，b，斜边设为c，式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a，b，c来表示吗？
会发现，正方形A的面积等于边a的平方，同样SB=b2,SC=c2,所以
a2+b2=c2.
问题6：去掉正方形结论会改变吗？
通过多媒体动态演示，发现去掉正方形结论不会改变. 由以上探究可以发现，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为
a，b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2.
有位同学为了此项研究，还发明了一个小工具呢，我们一起去看看吧. 我们通过实验猜想得到了命题1：如果直角三角形的两条A直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.是否具有普
bc遍的意义，还需要加以论证. CaB设计意图：通过学生间的画图、计算、讨论，调动学生的
积极性，给学生充分的时间交流，培养学生的探索习惯，同时增强学生的合作意识。同时，几何画板中对三边关系的测量和计算的展示也很好地揭示直角三角形的三边关系。 探究三：
问题7：请写出命题1的已知，求证，画出图形.
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
求证：a2+b2=c2
朱 朱黄朱 ab朱好，现在我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的.赵爽准备了边长分别为a，b的两个正方形，把这两个正方形如图1连在一起，通过剪拼把它拼成图2的样子，你能做到吗？试试看.让我们通过动画展示了解一下赵爽拼图的过程吧.把边长为a，b的两个正方形连在一起，令以a，
我们可以观察到，这个连体正方b为直角边的直角三角形的斜边长为c.接下来，
形底边长为a+b，在底边MN上截取MP=a，则PN=b，此时，连体正方形可以被分成四个全等的直角三角形和和一个黄色的正方形，而黄色正方形的边长为
c图
图2
2020-2021学年八年级数学人教版下册：17.1 勾股定理-教案
