上海国和中学数学旋转几何综合单元测试卷（解析版）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝
1AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，3连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长． 4
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】 【分析】
67 7（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC； （2）成立，理由如下， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴△PBC是等边三角形， ∴
3293PC＝，
44∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t， ∴AC＝2t， ∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°， ∴AD＝
1AC＝t，CD＝3AD＝3t， 2∵PD2+CD2＝PC2， ∴（2t）2+3t2＝9， ∴t＝
37（负值舍去）， 767． 7∴AC＝2t＝【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得
解．
2．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5) （1）求出a和b之间的数量关系．
（2）已知抛物线的顶点为D点，直线AD与y轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式；
②点B为y轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，连接AB、AC，将AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BH．截取BC的中点F和DH的中点G．当点D、点H、点C三点共线时，分别求出点F和点G的坐标． 【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x2+4x-11，②G1(F1(-47?30591?305)，，-88305-2133?30547-305305?2133-30591-305)，G2()，F2() ，-，-，-848848【解析】 【分析】
（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a-5即可得到a和b之间的数量关系；
（2）①求出直线AD的解析式，与抛物线y=ax2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a，b，即可求出解析式；
②作AI⊥y轴于点I，HJ⊥y轴于点J.设B（0，t），根据旋转性质表示粗H、D、C坐标，应含t式子表示直线AD的解析式，根据D、H、C三点共线，把点C坐标代入求出
t1?-31?30531-305，t2?-，分两类讨论，分别求出G、F坐标。
44【详解】
解：（1）把A（2,5）代入y=ax2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10
∴a和b之间的数量关系是a+2b=10 （2）①设直线AD的解析式为y=kx+c ∵直线AD与y轴交于（0，-7），A（2,5） ∴{2k?c?5k?6解得{即直线AD的解析式为y=6x-7
c?-7c?-72
y?ax2+bx-3a-5联立抛物线y=ax+bx-3a-5与直线AD：y=6x-7 得{
y?6x-7消去y得ax2+（b-6）x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD有两个交点 ∴由韦达定理可得：xA+xD=-b-62?a-3a?2=，xAxD= a2aa
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