????P?P1?P2?P3 Px?P1x?P2x?P3x??We?sin?tgWe?cos?tg?Pe?sin?tg?0?(W?P)e?sin?tg
Py?P1y?P2y?P3y??0?0?We?cos?tg
dPxdt?Fx?FN?W?P?G
式中，FN?W?P?G，故：
ddt(W?P)e?sin?tg2Fx?[]?e?(W?P)cos?tg2?W?Pg?ecos?t，即：
2Fx?W?Pg?ecos?t
dPydt?Fy dPydte?Wcos?tge?Wsin?tg2Fy??ddt2()????Wg?ecos?t，即
2Fx?W?Pg?ecos?t
[习题10-5] 大直角锲块A重P，水平边长为a，放置在光滑水平面上；小锲块B重Q，水平边长为b（a?b），如图放置在A上，当小锲块B完全下滑至图中虚线位置时，求大锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在 水平方向不受力，即Fx?0，所以：
bmaCx?Fx?0 aCx?0
dvCdtBAa?0
6
vC?C1
vC|t?0?C1?0，故： vC?0
dxCdtybBAax?0
xC?const，即质心守恒： xC1?xC2
PxC1?g?a3Pga3y??QgQg?2b3?Pa?2bQ3(P?Q)
APabBQxsP(xC2??s)?Q(a?s?P?Qb3)
xC2?P(a?3s)?Q(3a?3s?b)3(P?Q)
xC2?Pa?3Ps?3Qa?3Qs?Qb3(P?Q)，故：
Pa?2bQ3(P?Q)?Pa?3Ps?3Qa?3Qs?Qb3(P?Q)
2bQ??3(P?Q)s?3Qa?bQ 3(P?Q)s?3Qa?3bQ
(a?b)QP?Qs? （A锲块各左移动的位移）
[习题10-6] 匀质杆AB长2l，其B端搁置于光滑水平面上，并与水平成?0角，当杆倒下时，求杆端A的轨迹方程。
解：由于AB杆在水平方向上不受力，所以其质心的x坐标守恒。 即：xCt?xC0?lcos?0
7
质心C沿x?lcos?0直线向下运动。 设任意时刻A的坐标为A(x,y)，则： x?lcos?0?lcos?
yAC?0x?lcos?0?lcos?
Bxy?2lsin? y2?lsin?
NAy消去?得：
y22(x?lcos?0)?()?l，为一椭圆。
2A(x,y)
BN?CxA[习题10-7] 图示系统中，mA?4kg，mC?2kg，??300。设当A在斜面上作无初速地向下滚过40cm时，斜面在光滑的水平面上移过20cm。求B的质量。 ByAyA?mAgCmCgBmBg?x
20mAgCmCgmBgx3
解：以A、B、C构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力， 所以aCx?0，即：
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N1aN2bN1c20N2bac
dvCxdt?0
vCx?C1
vCx|t?0?C1?0，故： vCx?0
dxCdt?const，即质心守恒：
xC2?xC1
2bmAa?mCxC1?mA3?mB?mC?mB(b?c)
4a?2?xC1?2b34?2?mB?mB(b?c)?4a?4b?mB(b?c)3 6?mB4(a?20?203)?2(xC2?2b34?2?mB?20)?mB(b?c?20)
4a?80?803?xC2??40?mB(b?c)?20mB3 4?2?mB4b4b4a?120?803?xC2??mB(b?c)?20mB3，由xC2?xC1得： 4?2?mB4b4a?4b36?mB?mB(b?c)?4a?120?803?36?mB?mB(b?c)?20mB
0?120?803?20mB
0?6?43?mB
mB?43?6?0.928(kg)
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[习题10-8] 质量为m，半径为R的匀质半圆板，受力偶作用在铅垂面内绕O轴转动，转动的角速度为?，角速度为?。C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任意角?时，求此瞬时轴O约束力（OC?4R3?）。
解： 在法向应用牛顿第二定理得：
man?Fn?Fysin??Fxcos??mgsin?
m?OC??2?Fysin??Fxcos??mgsin?
4Rm?23??Fysin??Fxcos??mgsin?
2Fysin??Fxcos??mgsin??4Rm?3?
Fcot??mg?4Rm?2y?Fx3?sin?…………(1)
质点系的动量： P?mvC?m?OC???4R?m3?
P4R?mt?3?
在切向应用动量定理得：
dPtdt?Ft
dPtdt?Ft??Fycos??Fxsin??mgcos?
ddt(4R?m3?)??Fycos??Fxsin??mgcos?
4Rmd?3?dt??Fycos??Fxsin??mgcos?
4Rm?3???Fycos??Fxsin??mgcos? Fcos??Fcos??4Rm?yxsin??mg3? Fy?Fxtan??mg?4Rm?3?cos?…………(2)
10
MOF?xF??yCv?Cmg
《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题
