第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题10-1] 船A、B的重量分别为2.4kN及1.3kN，两船原处于静止间距6m。设船B上有一人，重500N，用力拉动船A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B移动的距离。
解：以船A、B及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
?Fix?0，
y设B船向左移动了S米， 则A船向右移动了6－S米。 由质点系的动量定理得： [mAvA－(mB?m人)vB]－0＝Fxt
O[mAvA－(mB?m人)vB]＝0
ABxx06mmAvA?(mB?m人)vB mAvA?(mB?m人)vB mA6?st?(mB?m人)sty
A6?smA(6?s)?(mB?m人)s
OBsx2.4(6?s)?(1.3?0.5)s
2.4(6?s)?(1.3?0.5)s 4(6?s)?3s s?247?3.43(m)
[习题10-2] 电动机重P1，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长2L，重P2，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重P3的物体，设机轴的角速度为?（?为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
1
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。
???yP3P2P1?t???vC3r?vC1vC2rON1xN2vC2?vC1?vC2C1
vC2r?l?
??vC1vC2x?l?cos?t?vC1
???vC1??t?t??vC3r?tvC3?vC1?vC3C1 vC3r?2l?
vC3x?2l?cos?t?vC1
vC1vC2r因为质点系在水平方向上不受力，所以 Fx??Fix?0
由动量定理得：
[?m1vC1?m2(l?cos?t?vC1)?m3(2l?cos?t?vC1)]?0?Fxt [?m1vC1?m2(l?cos?t?vC1)?m3(2l?cos?t?vC1)]?0?0 m2(l?cos?t?vC1)?m3(2l?cos?t?vC1)?m1vC1 m2l?cos?t?m2vC1?2m3l?cos?t?m3vC1?m1vC1 m2l?cos?t?2m3l?cos?t?(m1?m2?m3)vC1
vC1?l?(m2?m3)m1?m2?m3cos?t
2
dxC1dt?l?(m2?m3)m1?m2?m3l?(m2?m3)m1?m2?m3cos?t
dxC1?cos?tdt
xC1?l?(m2?m3)m1?m2?m3l(m2?m3)m1?m2?m3l(m2?m3)m1?m2?m3l(P2?P3)P1?P2?P3?cos?tdt
xC1??cos?td(?t)
xC1?sin?t
xC1?sin?t
这就是电动机的水平运动方程。
[习题10-3] 浮动起重机起吊重P1?20kN的重物，起重机重P2?200kN，杆长OA?8m，开始时杆与铅垂位置成600角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA转到与铅垂位置成30角时，求起重机的位移。
A0解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。 因为质点系在水平方向不受力，所以Fx?0
d(mvCx)dxy300?Fx?0
P1OvCx＝const vCx|t?0＝const?0 vCx＝0
dxCdtxP2qbab?0
xC＝const。即OA运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。
当OA杆转到与铅垂位置成30角时，质点系质心的横坐标为：
3
0
xC1?m1xC1?m2xC2m1?m2
xC1?P1xC1?P2xC2P1?P2?20?(8cos60?0?a)?200?(a?b20?200)2
xC1?xC1?20a?80?200a?100b220220a?100b?8022011a?5b?4
xC1?11
当OA杆转到与铅垂位置成300角时， 质点系质心的横坐标为：
?20?(8cos30?0xC2?P1xC1?P2xC2P1?P220c?80?c)?200?(c?b20?200)2
xC2?3?200c?100b220
AyxC2?220c?100b?8022011c?5b?43113
600P1OxC2?xP2
qb因为质心守恒，所以 xC1?xC2，即：
11a?5b?41111c?5b?4311cb?
11a?5b?4?11c?5b?43 11a?4?11c?43
11(c?a)?4(3?1)
(c?a)?411(3?1)?0.2662(m)
4
故，当起重杆OA转到与铅垂位置成300角时，起重机向左移动了0.2662米。
[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O以匀角速度?转动。重P的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W，半径为r，偏心距为e，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。
解：设机座的重量为G，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力： FN?W?P?G；当偏心轮转动时，存在
动反力：Fx和Fy。质点系的受力与运动分 析如图所示。
当偏心轮转动时，偏心轮的动量为： P1?W?gvC1?Weg
当偏心轮转动时，夹板的动量为： P2?PgvC2
因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为： x?e?ecos?t
vx?0?e(??sin?t)?e?sin?t，即：
vC2?esin?t，故：
P2?Psin?tgvC2?Pe?g
当偏心轮转动时，机座的动量为： P2?GgvC3?Gg?0?0
质点系的动量为：
5
vWCP1?er?tC1vC2OCx2GC3FxFyFN
《理论力学》第十章 质心运动定理 动量定理 习题
