大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考理科数学
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A???2,?1,0,1,2?，B?{x|x2?x?2?0}，则AIB?( ) A. ??1,0?
B. ?0,1?
C. ??1,0,1?
D. ??2,?1,0,1,2?
2.若复数z?(m?1)??2?m?i(m?R)是纯虚数，则A. 3
B. 5
6?3i?( ) z5
D. 35
C.
3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a?α，b?β，a//β，b//α，则“a//b“是“α//β”的（ ） A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.函数f(x)?B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
xx?x的图象大致为( ) 22?1A. B.
C. D.
5.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A.
1 7B.
2 7C.
1 3D.
18 357.设等差数列?an?的前n项和为Sn，且S8?0，a3??3，则S9?( ) A. 9
B. 12
C. ?15
D. ?18
右焦点为F?c,0?，若F到直线
x2y28.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)ab2bx?ay?0的距离为A.
2c，则E的离心率为( ) 29.已知函数f(x)?cos(2x?A. 函数f?x?的最小正周期为π B. 函数f?x?的图象关于点?C. 函数f?x?在?D. 函数f?x?的图象可由y?sin2x的图象向左平移
10.已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ） A ﹣2
B. ﹣1
C. 2
D. 4
.3 2B.
1 2C.
2 2?3)，则下列结论错误的是( )
???,0?对称 ?12???2?,33???上单调递增 ??12个单位长度得到
的D.
2 3
x2y211.已知双曲线E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E上的一点，且
ab|PF2?2PF1|.若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程
为( )
1A. y??x
3B. y??1x 2C. y??2x D. y??3x
12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C:(x2?y2)3?16x2y2恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4?；④方程(x?y)?16xy在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ②③④
22322?xy?0?表示的曲线C
二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.
rr3?rrrrr,a?a?b?_______. 13.已知向量a??1,1?,b?2，且向量a与b的夹角为4??14.定义在R上的函数f?x?满足：①对任意的x,y?R，都有f?x?y??f?x??f?y?；②当x?0时，
f?x??0，则函数f?x?的解析式可以是______________.
15.设数列?an?的前n项和为Sn，且2Sn?3(an?1)，若a10?ka8，则k?______________.
16.已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且?PAB?90?.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则?PDA?______________；四棱锥P-ABCD的体积为______________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.我国在贵州省平塘县境内修建500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.
（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？ （2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.
18.在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3a?（1）求B；
的
3bcosC?csinB.
（2）若b?23，AD为BC边上的中线，当VABC的面积取得最大值时，求AD的长.
19.在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2，BC?BB1?4，AC?AB1?25，且?BCC1?60?.
（1）求证：平面ABC1?平面BCC1B1； （2）设二面角C?AC1?B大小为?，求sin?的值.
20.已知动圆Q经过定点F?0,a?，且与定直线l:y??a相切（其中a为常数，且a?0）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为?0,?a?，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得?AFM??AFN？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.已知函数f(x)?12ax?(1?a)x?lnx,a?R. 2（1）讨论f?x?的单调性；
（2）若a?(??,1)，设g?x??xe?x?lnx?a，证明：?x1?(0,2]，?x2?(0,??)，使
xf?x1??g?x2??2?ln2
（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑. 选修4-4：极坐标与参数方程
1?x??cos??2?22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数）.以原点O为极点，x轴
?y?3?sin??2?的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l的极坐标方程为??.?12
，若直线l与曲线C交于两点A.B，求AB的长；
（2）设M、N是曲线C上的两点，若?MON??2，求?OMN面积的最大值.
选修4-5：不等式选讲
23.已知不等式x?1?x?x?1?m?1对于任意的x?R恒成立. （1）求实数m的取值范围；
（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a?2b?3c?M.求证
11??2?3. 2a?bb?2c
2020届大教育全国名校联盟高三质量检测第一次联考理科数学试题(原卷版)
