2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题8分，共64分)
1.设A为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合B?{x?y|x,y?A,x?y}，若
B?{log26,log，则集合A?________. 210,log215}答案：{1,log23,log25}
提示：设A?{log2a,log2b,log2c}，其中0?a?b?c.
则ab?6,bc?10,ad?15.解得a?2,b?3,c?5，从而A?{1,log23,log25}。
2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则
________.
答案：
提示：设 ,则 且 ，∴ . ，令 ， . 令 得 ， ， ， ∴ ， ，∴
3. ________. 答案：
提示：
.
.
， ，若 为 4.已知向量 ， 满足 ，且 ， 的
夹角，则 ________. 答案：
∴ 提示：∵ ∴
∵ ∴
又∵ ∴ ∴ .
5.已知复数 ， ， 使得为纯虚数， ， ，则 的最小
值是________. 答案：2?1
提示：设 ，则 ，由已知
∴
∴ ∴ ∴ 。 当 z1?1,z2?i,z3?2?2(1?i)时，2最小值能取到。
6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案： 提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ，所以正四面体的高 , 得 7. 设f(x)是定义在(0,??)上的单调函数，对任意x?0有f(x)??则f(8)? . 答案：
44，f(f(x)?)?3，
xx7 2提示：由题意存在x0?0使f(x0)?3。又因f(x)是(0,??)上的单调函数，这样的x0?0是唯一的，再由f(f(x0)?4)?3得x?f(x)?4?3?4
00x0x0x0447，f(8)?4??。 x82解得x0?4或x0??1（舍）。所以f(x)?4?8.已知 为椭圆值为________. 答案：
的内接三角形，且 过点 ，则 的面积的最大
提示：经伸缩变换 得 内接于圆 ， 过点 ，
，设 距 的距离为 ，则 ， ， ，易知当 时， 有最大值为
，∴ 的最大值为 .
二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分)
9.已知过点 斜率为 的直线 交双曲线 ： 右支于 、 两点， 为双曲线 的右焦点，且 ，求 的值.
解：设 ， ，则直线 ： .离心率 。......4分
得 联立
∴
...........8分
∴ ∴ . ........ 16分。
10.数列 满足 ， ，
.......12分
.
（1）证明：数列 是正整数数列；
（2）是否存在 ，使得 ，并说明理由.
证明：（1）已知 ， ∴ 相减得
∴ ∴
为常数数列。.......... 5分
∴ ，又∵ ∴ 又∵ ，∴ ....... 10分
（2）∵ ，假设有 ，则 。..... 15分 法一：由 ， ， 得 ∴ ∴
法二：∵ ∴ 由费马小定理得 ，矛盾.
所以不存在 ，使得 ，得证. ......20分
11.已知 ， ，求证 .
注：可直接应用以下结论 （1） ；（2） 。
证明：设 ， ，则 ， . 只要证 ，因为 , 所以只要证明：对满足 的 ，有 。..... 5分 令
得
，
此时
，......... 10分
∴
. ........ 15分
∵ ∴ ，不等式成立，得证. ........ 20分
2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及解答
